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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.8图形的位似 （1）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，是由△ABC以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（本题6分）将△ABC的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论：
：△ABC与是相似三角形；
：△ABC与是位似三角形．
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确
3．（本题6分）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（本题6分）如图，在正方形网格中，△ABC与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
5．（本题6分）如图，△ABC与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ．
7．（本题6分）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形．
8．（本题6分）如图，△ABC和是以点为位似中心的位似图形，若，△ABC的面积等于9，则的面积为 ．
9．（本题6分）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心．
10．（本题6分）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
12．（本题8分）如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与△ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心O；
(2)请在方格图中将补画完整．
13．（本题8分）如图，在△ABC中，，垂足为，．
(1)求证：△ABC是直角三角形．
(2)可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程．
14．（本题8分）如图，△ABC的三条边与的三条边满足，且．△ABC的面积与的面积之间有什么关系？
15．（本题8分）如图，△ABC与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心；
(2)求△ABC与的周长比和面积比．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.8图形的位似 （1）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，是由△ABC以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：①如图，
假设△ABC沿所在直线向下平移得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以△ABC经过一次平移和一次位似可以得到，故①正确；
②如图，
假设△ABC绕点C旋转，得到，
由图很明显可知与是位似图形，
所以△ABC经过一次旋转和一次位似可以得到，
故②正确；
③两次轴对称之后，可以看作一次平移，
所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到，
故③正确；
④如图，
假设△ABC先沿所在直线轴对称，得到，
再绕点O旋转得到，
由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形，
故④错误；
故选：A．
2．（本题6分）将△ABC的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论：
：△ABC与是相似三角形；
：△ABC与是位似三角形．
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确
解：分别延长相交于点O，
由题意得，，
，
故结论Ⅰ正确，符合题意；
，
，
，
，，
，
∴与是位似三角形，
故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：C．
3．（本题6分）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，
，
∴它们的位似中心为，
故选：B．
4．（本题6分）如图，在正方形网格中，△ABC与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
解：∵△ABC与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形，
∴如图：连接，，

则，，相交于一点Q，
∴这两个三角形的位似中心是点Q．
故选：B．
5．（本题6分）如图，△ABC与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
解：∵△ABC与是位似图形，点是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则 ．
解∵与是位似图形，
∴与的相似比为=2:3,
∴与的面积比为4：9,
∵，
∴=.
7．（本题6分）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件： ，使与是以点为位似中心的位似图形．
解：补充条件，则，
所以与是以点为位似中心的位似图形．
故答案为：（答案不唯一）．
8．（本题6分）如图，△ABC和是以点为位似中心的位似图形，若，△ABC的面积等于9，则的面积为 ．
解：∵，
∴，
∵△ABC和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵△ABC的面积等于9，
∴的面积为．
故答案为：
9．（本题6分）已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是 图形，其中 点是位似中心．
解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′′B′＝∠C，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．
故答案为（1）位似，（2）O．
10．（本题6分）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ．
解：∵△ABC与是位似图形，相似比为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：6．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
（1）证明：∵，，
∴；
∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点，
∴与不是位似图形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
12．（本题8分）如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与△ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心O；
(2)请在方格图中将补画完整．
（1）解：如图所示：点O即为位似中心；
（2）解：补全如图所示：
13．（本题8分）如图，在△ABC中，，垂足为，．
(1)求证：△ABC是直角三角形．
(2)可以经过怎样的图形变换得到？请用文字语言描述变换过程．
（1）解：，
，
，
，
，
，
，
△ABC是直角三角形；
（2），
，
，
，
，
，
可以绕点逆时针旋转，使得与重合，再以A为位似中心，将旋转后的三角形按照一定位似比进行位似变换，位似比为，此时就可以得到．
14．（本题8分）如图，△ABC的三条边与的三条边满足，且．△ABC的面积与的面积之间有什么关系？
解：△ABC与的面积比为9．
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴相似比为3，
∴△ABC与的面积比为9．
15．（本题8分）如图，△ABC与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心；
(2)求△ABC与的周长比和面积比．
（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）解：由图形得，，
与的相似比为，
与的周长比为，面积比为．
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