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2024届模拟试卷（二）
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在的展开式中，的系数为（ ）
A. B.5 C. D.10
3.设，i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.0
4.若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，是AC的中点，是线段BC上的一点，且，若，其中，，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（ ）
A.2 B.3 C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若样本数据的方差为2，则数据，，，，，的方差为17
B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
10.已知定义在上的偶函数，其最小正周期为4，当时，，则（ ）
A. B.的值域为
C.在上单调递减 D.在上有8个零点
11.在三棱锥中，平面平面，，则（ ）
A.三棱锥的体积为1
B.点到直线AD的距离为
C.二面角的正切值为2
D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为__________.
13.函数的最小正周期为__________.
14.已知三位正整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（15分）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求的值.
17.（15分）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线AB、CD分别交椭圆于A、B，C、D，且，线段AB、CD的中点分别为M、N.求四边形面积的最小值.
18.（17分）某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第个箱子中有k个数学题，个物理题，每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束.若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.
（1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p，答对每一个物理题的概率为q.
①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；
②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p、q的值.
（2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.
19.（17分）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.
（1）已知集合，，，若，求的值；
（2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；
（3）若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等关数列.
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长郡中学2024届模拟试卷（二）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A D A C A A BCD AB ACD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C
7.A【解析】因为数列为等差数列，所以，
因为为等比数列，所以，
而，所以，故A对，C错；
因为，而，可同为正数也可同为负数，
当，时，，当，时，，
所以，.大小不确定，故BD错误.故选A.
8.A
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）
9.BCD【解析】对A：若样本数据的方差为2，则数据，，，，，的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C：根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D：以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，，故c，k的值分别是和2，故D正确.故选BCD.
10.AB【解析】对于A，，所以A正确；
对于B，当时，单调递增，
所以当时，的值域为，
由于函数是偶函数，在上的值域也为，
又是周期为4的周期函数，所以的值域为，所以B正确；
对于C，当时，单调递增，
又的周期是4，所以在上单调递增，所以C错误；
对于D，令，得，所以，
由于的周期为4，所以，，
所以在上有6个零点，所以D错误，故选AB.
11.ACD【解析】如图，取AB的中点，连接DG，CG，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.因为，所以，故A正确；
取AD的中点，连接BE，取AE的中点，连接FG，CF，
因为F，G分别为AE，AB中点，则，所以.因为平西，平面，所以，又，，平面，所以平面，则，则点到直线AD的距离为，为二面角的平面角，，B错误，C正确；
设，的外心分别为M，K，则，又平面平面，所以平面.设三棱锥外接球的球心为，则平面，平面，所以四边形为矩形，则.故三棱锥外接球的球心到平面的距离为，D正确.故选ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 13.
14.959【解析】设连续的三项的二项式系数为，，，，
由得，
解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数，
设，可得，代入①，
解得或，所以三位整数的最大值为959.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.【解析】（1）由，，，，得，
所以，即有.
由，，，，得，
由，得，
由，得，所以，即有，
又，因此平面.
（2）[方法一]：向量法
设直线与平面所成的角为.
如图建系，由（1）可知，，，
设平面的法向量.
由即可取，
所以.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
[方法二]：定义法＋等积法
设直线与平面所成角为，点到平面距离为（下同）.
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
由条件易得，点到平面的距离等于点到直线AB的距离，
而点到直线AB的距离为，
所以.故.
16.【解析】（1）当时，，
则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即.
（2），
今，解得或，
当，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，.
17.【解析】（1）根据题意设椭圆的标准方程为，
由已知得，，即，由可得，，
联立解得，，故椭圆的标准方程为.
（2）设直线AB、CD的料率分别为，且A、B、C、D的坐标分别为，，，，设四边形面积为，又，则直线AB为：，直线CD为：.
联立得，
知，是该方程两根，所以
则.
同理.
所以，
则.
（当时取等）
所以四边形面积的最小值为.
18.【解析】①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件，则.
②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为，
今，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
即当时，.
学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知.
故理论上至少要进行27轮游戏，此时，.
（2）设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为.
设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形：
取法数为，
取法数为，
取法数为，
取法数为，
则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为.
而选到第个箱子的概率为，
故所求的概率为.
19.【解析】（1）由题：，
所以，，且，
从而，，，故.
（2）若，，，，使，其中，，，，
则，故，.
，
，
.
（3）设集合，，其中，.
则，
这里共个不同元素，又，所以上面为合集中的所有元素.
又，这里共个不同元素，也为合集中的所有元素，所以有，即.
一般地，由，，
可得，即.

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