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四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测
高一数学试题
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体为（）
A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）
A． B．2 C．1或2 D．2或
4．如图，为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且，，则△AOB的周长为（）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，，P为CD的中点，则（）
A． B．
C． D．
7．平面内顺次连接，，，所组成的图形是（）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
8．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，为z的共轭复数，则下列各选项正确的是（）
A．z是虚数 B．的虚部为 C． D．
10．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（）
A．（，）可以表示平面内的所有向量
B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C．若存在实数，，使，则
D．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是（）
A．
B．△ABC面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若△ABC为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为________．
13．如图，三棱台的上、下底边长之比为1：3，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则________．
14．在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且，若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，BC为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积．
16．（本小题满分15分）
已知向量，，，且．
（1）求m的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，且．
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC内切圆的半径．
18．（本小题满分17分）
如图，在等腰三角形ABC中，，，F是线段AC上的动点（异于端点），．
（1）若F是AC边的中点，求的值；
（2）当时，请确定点F的位置．
19．（本小题满分17分）
在平面四边形ABCD中（B，D在AC的两侧），，．
（1）若，，求∠ABC；
（2）若，求四边形ABCD的面积的最大值．
四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测·高一数学
参考答案
1．A
2．C
3．C
4．D
5．D
6．C
7．B
8．A
9．AD
10．BD
11．ACD
12．1
13．
14．3
15．解：（1）设底面圆的直径为2r，
由题可知，圆柱的体积，解得，……3分
因此圆柱的侧面积为；……6分
（2）因为△ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长，……9分
所以三棱柱的体积．……13分
16．解：（1）因为，……3分
且，所以，……6分
解得；……8分
（2）因为，，
所以，，，……12分
所以．……15分
17．解：（1）因为向量与平行，所以，……2分
由正弦定理得，……3分
又，所以，所以，……5分
又，所以；……7分
（2）由余弦定理得，所以，解得或（舍），……9分
所以△ABC的面积，……12分
设△ABC内切圆的半径为r，
所以，解得．……15分
18．解：（1）由题意知，由于F是AC边的中点，因此，……3分
因此；……8分
（2）不妨设，，因此，……10分
，……15分
解出，故F是线段AC靠近A处的四等分点．……17分
19．解：（1）在△DAC中，由余弦定理得，即．
因为，，所以，
又，所以．……3分
在△ABC中，由正项定理得，
所以，……7分
又，所以，所以；……8分
（2）设，所以．
在△ABC中，由余弦定理得．
所以△ABC的面积，……13分
所以，此时，……14分
又△DAC的面积，
所以四边形ABCD的面积的最大值为．……17分
8

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