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江苏省2024-2025学年度第一学期综合练习(一)
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，若，则（）
A. B. C. D.
2.函数的值域为（ ）
A．B．C． D．
3．3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ）
A． B． C．24D．12
4．有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第35百分位数不变
C．平均数不变 D．方差不变
8. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（）
A. 0 B. C. 1 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）.
A．两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数就越接近于1
B．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
C．对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越大
D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ，
10. 已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线经过原点，且上的点满足到点
的距离与到点的距离之积为1，则（ ）
A．直线与只有1个公共点
B．圆与有4个公共点
C．与轴的交点坐标为
D．上的点到轴的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式的展开式中，常数项为_________.
13.．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为_____．
14.已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞选．
(1)求所选4人中女性人数为2人的概率；
(2)若选出的4名副主任分配到，，，这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一个科室，求科室任职的是女性的情况下，科室任职的是男性的概率．
16. 已知三棱锥满足，且
．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值，
17. 科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 m
(1)求m的值．
(2)若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由．
参考公式：相关系数．
18.已知函数．
（1）判断函数的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线与的所有公切线方程.
19.已知椭圆的长轴长为4，，为C的左、右焦点，点P（不在x轴上）在C上运动，且的最小值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，记的内切圆的半径为r，求r的取值范围.
江苏省如皋中学2024-2025学年度第一学期综合练习(一)
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.C
2.B
3.A
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9. BD
10. AD
11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 180
13.10
14.
15. （1），
（2）设“科室任职的是女性”，“科室任职的是男性”，
则，，
所以．
16.（1）解,,
,即：,
取中点，连接，则，且平面,
平面,
平面
（2）解法一：由（1）知，平面平面平面
作，垂足为
平面平面，且平面
平面
中
记点到平面的距离为与平面所成角为，则
由得：
因此，
解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
由（1）可知
中，
设的法向量
由得：取
记与平面所成角为．则.
17.参考公式：相关系数．
（1）由题意可知，，，
所以样本中心为，将点代入，可得，解得．
（2）由（1）可得，样本中心为，所以，．
由相关系公式知，，将点去掉后，样本相关系数r不变
18.（1）函数的定义域为：，
，单调递增
又，存在唯一零点，在之间．
（2），
以上的点为切点的切线方程为
以上的点为切点的切线方程为：
令
则，得，即．
设，函数，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，，
的解为，又．
和存在唯一一条公切线为．
19.（1）由题意得，设，的长分别为m，n，，
则在中，由余弦定理可得
当且仅当时取等号，从而，得，∴，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，
由题意，根据椭圆的定义可得的周长为，
，所以，
设l的方程为，联立椭圆方程，
整理可得，易知
且，，
，
所以，令，则，
，令函数，则在上单调递增，则，所以，即，故r的取值范围为.
11

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