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13. 3. 2 三角形的外角
旧知链接
(1) 三角形内角的意义、邻补角的意义.
(2) 三角形的内角和定理、直角三角形的性质与判定方法.
(3) 在△ABC 中 ,①∠C = 90 ° , ∠A = 50 ° ,则∠B = ;
②∠A = 42 ° , ∠B = ∠C ,则∠B = ;
③∠A: ∠B: ∠C = 2: 3: 4 ,则∠A = , ∠B = , ∠C = .
新知速递
(1) 如图 13 - 3 - 61 所示 , ∠ACD 是 的外角 ,若∠ACD = 110 ° , ∠A = 80 ° ,则∠B = .
(2) 如图 13 - 3 - 62 所示 , ∠AEB 是 的外角 ,若∠AEB = 45 ° , ∠A = 20 ° ,则∠C = .
(3) 如图 13 - 3 - 63 所示 ,AB//CD , ∠A = 37 ° , ∠C = 63 ° ,那么∠F = .
(4) 如图 13 - 3 - 64 所示 , ∠BDC 是 的外角 , 也是 的外角 ;若 ∠B = 45 ° , ∠BCE = 20 ° , ∠BAE = 36 ° ,则∠AEC 的度数为 .
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图 13 - 3 - 61
图 13 - 3 - 62
图 13 - 3 - 63
图 13 - 3 - 64
(1) 一个三角形的外角中 ,锐角最多有 个.
(2) 如图 13 - 3 - 65 所示 ,直线 a∥b ,则∠A = .
(3) 如图 13 - 3 - 66 所示 ,D 是△ABC 中 AC 边上一点 ,E 是 BD 上一点 ,则 ∠1 , ∠2 , ∠A 之间的关系是
.
(4)若△ABC 的三个内角度数之比为 2 : 3 : 4 ,则相应的外角度数之比为 .
(5) 如图 13 - 3 - 67 所示 ,在△ABC 中 , ∠1 = ∠A , ∠2 = ∠C , ∠ABC = ∠C ,求∠ADB 的度数.
(6) 如图 13 - 3 - 68 所示 ,在△ABC 中 , ∠BAC = 80 ° , ∠B = 60 ° ,AD 是△ABC 的高 ,点 E 在 BC 边上 ,且 AE 是∠DAC 的角平分线 ,EF//AC ,求∠AEC 的度数.
图 13 - 3 - 65
图 13 - 3 - 66
图 13 - 3 - 67
图 13 - 3 - 68
基础训练
(1) 三角形的三个内角的复数比分别是 1 : 2 : 3 ,则此三角形的最大外角为 ° .
(2) 如图 13 - 3 - 71 所示 , ∠1 = .
(3) 如图 13 - 3 - 72 所示 ,图中 x 的值为 .
(4)如图 13 - 3 - 69 是某建筑工具人字架 ,若该人字架中的∠3 = 110° ,则∠1 比∠2 大( ).
A. 50 ° B. 60 ° C. 70 ° D. 80 °
(5) 如图 13 - 3 - 70 所示 ,CE⊥AF 于点 E ,若∠F = 40 ° , ∠C = 50 ° ,则∠DBC = .
图 13 - 3 - 69 图 13 - 3 - 70 图 13 - 3 - 71 图 13 - 3 - 72
拓展提高
(1) 如图 13 - 3 - 73 所示 ,l 1 ∥l 2 , △ABC 的顶点 B ,C 分别在 l 1 ,l 2 上 , ∠1 = 70 ° , ∠2 = 40 ° ,则∠A 的大小 为( ) .
A. 50 ° B. 40 ° C. 30 ° D. 20 °
(2) 如图 13 - 3 - 74 所示 ,点 D 在线段 BC 的延长线上 ,过点B 作射线 BF 交 AC 于点 E ,则下列是△ABE 的外角的是( ) .
A. ∠ACD B. ∠AEB C. ∠AEF D. ∠CEF
(3) 如图 13 - 3 - 75 所示 ,将一副三角板按照如图方式摆放 ,则∠CBE 的度数为 .
(4) 如图 13 - 3 - 76 所示 ,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线 ,CP 是△ACB 的外角的平分线 ,如果∠ABP = 20 ° , ∠ACP = 50 ° ,则∠P = ° .
图 13 - 3 - 73 图 13 - 3 - 74 图 13 - 3 - 75 图 13 - 3 - 76
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(5) 如图 13 - 3 - 77 所示 ,在△ABC 中 ,BO , CO 分别平分∠ABC , ∠ACB ,交于点 O , CE 为外角∠ACD 的平分线 ,交 BO 的延长线于点 E ,记∠BAC = ∠1 , ∠BEC = ∠2 ,则以下结论 : ①∠1 = 2∠2;②∠BOC = 3 ∠2;③∠BOC = 90 ° + ∠1;④∠BOC = 90 ° + ∠2. 正确的是 . (把所有正确的结论的序号写在横线上)
发散思维
图 13 - 3 - 77
(1) 在数学活动课上 ,全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动 ,如图 13 - 3 - 76 所示 ,放置一 副三角尺 ,两个三角尺的顶点 O 重合 ,边与边重合 ,试求∠AOC 的度数.
①探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法(请结合图 13 - 3 - 76( a) ,完成填空)
解 : 因为∠OCD = 45 ° , ∠OBC = 60 ° ,
所以∠BOC = ( ). 又因为∠AOB = 90 ,所以∠AOC = .
②反思交流 :创新小组受勤奋小组的启发 ,继续进行探究 ,如图 13 - 3 - 76( b) 所示 ,绕顶点 O 逆时针旋 转△DOC ,当 DC∥AO 时 ,求得∠AEO 的度数. ( 请你写出解答过程)
③探索发现 : 小明受到旋转的启发 , 继续进行探究如图 13 - 3 - 78 ( c) , 继续绕顶点 O 逆时针旋转
△DOC ,使点B 落在边 DC 上 ,此时发现∠1 与∠2 之间的数量关系.
以下是他的解答过程 ,请补充完整解 :在△AOE 与△BCE 中 ,
因为∠AEO + ∠1 + ∠A = ∠CEB + ∠2 + ∠C ,
又因为∠AEO = ∠CEB( ) ,
∠A = 30 ° , ∠C = 45 ° ,
所以∠1 + ∠A = ∠2 + ∠C , ∠1 - ∠2 = ° .
(2) 如图 13 - 3 - 79 所示 , ∠A = 51 ° , ∠B = 20 ° , ∠C = 30 ° ,求∠BDC 的度数.
图 13 - 3 - 78 图 13 - 3 - 79

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