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第五章　机械能
第1讲　功和功率
常设情境　①生活实践类：体育运动中的功和功率问题，机车启动问题，交通工具、生产工具、娱乐项目中能量守恒定律的应用.
②学习探索类：功的正、负判断和大小计算，变力做功计算，功率的分析与计算，机械能守恒和功能关系的理解与应用，传送带、板块模型的能量问题.
一、功和功率的理解和计算
B
A. 109 W B. 107 W
C. 105 W D. 103 W
考题2　（2025·八省联考河南卷）如图1所示的水平地面上，质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动.图2为F随时间t变化的关系图像，已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小g取10 m/s2，求：
（1）在2 s末物体的速度大小；
答案：（1）8 m/s
解析：（1）物体所受的摩擦力为
f＝μmg＝0.2×1×10＝2 N0～2 s，
根据牛顿第二定律F－f＝ma
其中F＝6 N
（2）在0～3 s内物体所受摩擦力做的功.
答案：（2）－27 J
力的方向
力
位移
Flcos α
位移
恒力
正功
不做功
负功
克服
比值
快慢
平均功率
Fvcos α
平均功率
瞬时功率
正常工作
最大
实际工作
小于或等于
深化1　　正负功的判断
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
深化2　　计算功的方法
（1）恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算.
（2）合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况.
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功.
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化.
A. OA绳对小球1做正功
B. OA绳对小球1做负功
C. AB绳对小球2做正功
D. AB绳对小球2做负功
C
角度2　功的计算
例2　如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中.取g＝10 m/s2，求：
（1）斜面对物体的支持力所做的功；
答案：（1）300 J
（1）斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J.
（2）斜面对物体的摩擦力所做的功；
答案：（2）100 J
（2）斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos（90°－θ）＝100 J.
（3）物体重力所做的功；
答案：（3）－400 J　
（3）物体重力做的功WG＝－mgx＝－400 J.
（4）合外力对物体所做的功.
答案：（4）0
（4）合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合x＝0.
A. 48 W　24W B. 24 W　48 W
C. 24 W　12 W D. 12 W　24 W=
B
C
A. 苹果经过第三个窗户所用的时间最长
B. 苹果经过第三个窗户重力做的功最多
C. 苹果经过第一个窗户重力做功的平均功率最小
D. 苹果经过第一个窗户下端时，重力做功的瞬时功率最大
B
D. nmgωRH
二、机车启动的两种模型
二、机车启动的两种模型
D
ABC
A. 甲车的总重比乙车的大
B. 甲车比乙车先开始运动
C. 甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D. 甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
深化1　　模型一：以恒定功率启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P－t图像和v－t图像如图所示.
　　
深化2　　模型二：以恒定加速度启动
（1）动态过程
（2）这一过程的P－t图像和v－t图像如图所示.
　　
ACD
A. 客车的功率P＝64 kW
B. 图中A点对应的时刻为5 s
C. 图中A点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D. 0～10 s客车通过的路程为128 m
A. 该重型气垫船在海面直线航行过程加速度一定保持不变
B. 该重型气垫船在海面直线航行过程所受的阻力Ff为3.0×105 N
C. 以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的牵引力为6.0×105 N
D. 以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为9 000 kW
B
角度2　以恒定加速度启动模型
D
训练4　（2025·辽宁锦州模拟）随着国产汽车的日益崛起，越来越多的人选择购买国产汽车，某国产汽车发动机的额定功率为P，驾驶员和汽车的总质量为m＝2 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的0.1倍.若汽车从静止开始在水平路面上匀加速启动，t1＝5 s时，速度v1＝10 m/s，功率达到额定功率，此后汽车以额定功率运行，t2＝65 s时速度达到最大值vm＝30 m/s，汽车运动的v－t图像如图所示，取g＝10 m/s2，求：
（1）汽车的额定功率P；
答案：（1）60 kW
解析：（1）汽车受到的阻力为Ff＝0.1mg＝2 000 N
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，
则汽车的额定功率为P＝F牵vm＝Ffvm＝60 000 W＝60 kW.
（2）汽车在0～t1期间牵引力的大小F及汽车在0～t1期间牵引力做的功W；
答案：（2）6 000 N　1.5×105 J
（3）汽车在t1～t2期间的位移大小x2.
答案：（3）1 400 m
解得x2＝1 400 m.
三、计算变力做功的常用方法
三、计算变力做功的常用方法
A. 0 B. mgh
解析：在地面附近匀速下落，Ff＝mg，在下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为Wf＝Ffh＝mgh，B正确.
B
深化1　　微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR.
深化2　　图像法
深化3　　平均力法
深化4　　等效转换法
角度1　微元法
ABD
A. 重力做功为mgL
B. 悬线的拉力做功为0
C. 空气阻力做功为－mgL
解析：重力做功与路径无关，选项A正确；悬线拉力方向总与运动方向垂直，不做功，选项B正确；空气阻力大小不变，方向总与运动方向相反，做的功等于力与运动路程的乘积，选项D正确，C错误.
角度2　图像法
D
A. h1 B. nh1
BD
AC
限时跟踪检测
A级·基础对点练
　　
A
A. 甲图中支持力对人做正功
B. 甲图中摩擦力对人做负功
C. 乙图中支持力对人做正功
D. 乙图中摩擦力对人做负功
解析：甲图中人受重力和支持力，不受摩擦力，支持力做正功，A正确，B错误；乙图中人受重力、支持力和静摩擦力，支持力不做功，摩擦力做正功，C、D错误.
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A. 两小球落地时速度不相同
B. 两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C. 从小球抛出到落地，重力对两小球做的功不相等
D. 从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等
B
解析：由抛体运动规律得，两小球落地时的速度大小相等，方向相同，A错误；由于两个小球落地时速度相同，故重力的瞬时功率相同，B正确；由重力做功公式W＝mgh得，从小球抛出至落地，重力对两小球做的功相等，C错误；从抛出至落地，重力对两小球做的功相等，但是两小球运动的时间不同，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D错误.
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A. 摩擦力做功大小与F方向无关
B. 合力做功大小与F方向有关
C. F为水平方向时，F做功为μmgx
D. F做功的最小值为max
D
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解析：设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ（mg－Fsin θ），摩擦力做功大小Wf＝μ（mg－Fsin θ）x，即摩擦力做功大小与F的方向有关，选项A错误；合力做功大小W＝F合x＝max，可知合力做功大小与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则有F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝（ma＋μmg）x，选项C错误；因合外力做功大小为max，大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力Ff做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确.
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题组二　机车启动两种模型
A. 启动过程中，车做匀加速直线运动
C
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A. 在0～1 s时间内，重物受到的向上拉力为30 N
B. 在t＝1 s时，重物的加速度大小a＝20 m/s2
C. 在t＝6 s时，重物的速度大小v＝5 m/s
D. 在0～6 s时间内，重物上升的高度h＝85 m
D
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A. 驴拉磨一周拉力所做的功为0
B. 驴拉磨一周拉力所做的功为650π J
C. 驴拉磨一周拉力的平均功率为120π W
D. 磨盘边缘的线速度大小为0.1π m/s
C
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A. 物体做匀速直线运动的速度大小为4 m/s
B. 整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C. 整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D. 整个过程合力对物体所做的功为－4 J
D
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B级·能力提升练
A. 一个成年人上山过程中克服重力做功7.0×104 J
B. 一个成年人上山过程中克服摩擦力做功5.04×104 J
C. 若同时承运100个成年人，则其最大运行速度约为2 m/s
D. 若“魔毯”以1 m/s的速度运行，则最多可以同时承运50个成年人
C
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A. 0～2 s内力F的功率为零
C. 0～6 s内力F的最大功率为40 W
D. 0～6 s内力F的最小功率为24 W
B
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快解：0～2 s内物体做匀速运动，力F、速度v均不为零，力F的功率不为零，A错误；6 s末速度为零，故0～6 s内力F的最小功率为零，D错误；0～6 s内，4 s末速度最大，力F最大，功率最大，最大功率为Pm＝F'v'＝10×8 W＝80 W，C错误.故B正确.
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答案：（1）80 kW
解析：（1）当达到最大速度vmax＝40 m/s时，牵引力为Fmin＝2 000 N
故恒定阻力f＝Fmin＝2 000 N
额定功率P＝Fminvmax＝80 kW.
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（2）该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，则其在BC段的位移大小.
答案：（2）75 m
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