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第十二章　机械振动　机械波
第1讲　机械振动
常设情境　①生活实践类：共振筛、摆钟、地震波、多普勒彩超等.
②学习探索类：简谐运动的特征、单摆周期与摆长的定量关系、用单摆测量重力加速度、受迫振动的特点、共振的条件及其应用、波的干涉与衍射现象、多普勒效应.
素养目标　1.通过运动和力的关系，了解机械振动的平衡位置、回复力、简谐运动，明确描述振动的振幅、周期和频率等物理量.（物理观念） 2.清楚受迫振动的固有频率、阻尼振动、受迫振动和共振.（物理观念） 3.运用能量的观念，分析简谐运动中动能和势能的相互转化以及总能量的守恒.（物理观念） 4.弹簧振子和单摆是两个理想化模型.（科学思维） 5.根据振动图像分析简谐运动.（科学思维）
A. 小球做简谐运动
C. 两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
B
平衡位置　
回复力　
平衡位置　
平衡位置　
深化1　　简谐运动的特征
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大.在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性
特征
对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等，由对称点向平衡位置O运动时用时相等
深化2　　分析简谐运动的技巧
（1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁.位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化.另外，各矢量均在其值为零时改变方向.
（2）位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向；由于周期性，运动时间也不确定.
（3）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性.
A. 动能不断增大，加速度不断减小
B. 回复力不断增大，系统机械能守恒
C. 弹性势能不断减小，加速度不断增大
D. 弹性势能不断增大，加速度不断减小
A
解析：做简谐运动的小球，从C点运动到O点的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C点运动到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误.
D
A. 1.0 s B. 2.4 s
C. 0.8 s D. 2.2 s
解析：若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示
则小球的振动周期为T1＝（0.5＋0.1）×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点；若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示
C
A. 0.2 rad/s，1.0 m
B. 0.2 rad/s，1.25 m
C. 1.26 rad/s，1.0 m
D. 1.26 rad/s，1.25 m
解析：电动机的转速n＝12 r/min＝0.2 r/s，则振动的圆频率ω＝2πn＝1.26 rad/s，振动的振幅A＝0.1 m，周期T＝5 s，则12.5 s＝2.5T，光点在12.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正确.
D
A. t＝0时，弹簧弹力为0
B. t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C. 从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大
D. a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt） m/s2
简谐运动的公式和图像
1. 表达式
－kx　
Asin（ωt＋φ0）　
初相位　
平衡位置　
最大位移　
深化1　　由图像可获取的信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）.
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
（4）某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同.
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.
深化2　　简谐运动的对称性（如图所示）
A. 质点做简谐运动的振幅为10 cm
B. 质点做简谐运动的周期为4 s
C. 在t＝4 s时质点的速度最大
D. 在t＝4 s时质点的位移最大
AC
AD
A. 甲、乙两振子的振幅之比为2∶1
B. 甲、乙两振子的频率之比为1∶2
C. 前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D. 第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大
解析：根据甲、乙两个振子做简谐运动的图像可知，两振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙两振子的振幅之比为2∶1，选项A正确.甲振子的周期为4 s，频率为0.25 Hz，乙振子的周期为8 s，频率为0.125 Hz，甲、乙两振子的频率之比为2∶1，选项B错误.前2 s内，甲的加速度为负值，乙的加速度为正值，选项C错误.第2 s末甲通过平衡位置，速度最大；乙在最大位移处加速度最大，选项D正确.
A. 摆角变小，周期变大
B. 小球摆动周期约为2 s
D. 小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
B
1. 如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆.（如图所示）
2. 简谐运动的条件：θ＜5°.
深化1　　单摆的受力特征
（1）向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ.
（2）两点说明
D
A. 单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10 sin（2πt） cm
B. 单摆的摆长约为10 cm
C. 从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D. 从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
得单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝10sin（πt） cm，A错误；由单摆的周期公
的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动，所以加速度在减小，回复力在减小，
摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则绳子的拉力FT＝mgcos θ＋
CD
A. t＝2 s时，甲单摆的摆线拉力为0，乙的速度为0
B. 增大乙的摆球质量，乙的周期有可能与甲相等
C. 甲摆球和乙摆球永远不可能同时均处于动能最小的状态
四、受迫振动和共振
AD
A. 针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B. 随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C. 打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D. 稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
解析：打击杆和振动器两种装置，都利用了共振，由于不同树木固有频率可能不同，故落果效果最好的振动频率可能不同，A正确；若振动器频率大于树木固有频率，随着振动器频率的增加，与树木固有频率差值增大，树干振动的幅度反而减小，B错误；打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干不再做受迫振动，其振动频率为固有频率，故可能不同，C错误；由于树干做受迫振动，故稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确.
受迫振动和共振
深化1　　自由振动、受迫振动和共振的比较
项目 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期或频率　 由系统本身的性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
深化2　　对共振的理解
（1）共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A. 它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大.
（2）受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换.
D
A. 甲的振幅较大，且振动频率为75 Hz
B. 甲的振幅较大，且振动频率为20 Hz
C. 乙的振幅较大，且振动频率为18 Hz
D. 乙的振幅较大，且振动频率为20 Hz
解析：支架在受到竖直方向且频率为20 Hz的驱动力作用下做受迫振动时，频率越接近固有频率振幅越大，所以乙的振幅较大，受迫振动的频率取决于驱动力的频率，故甲、乙的振动频率均为20 Hz，A，B、C错误，D正确.故选D.
AD
A. 此单摆的固有周期为2 s
B. 此单摆的摆长约为2 m
C. 若仅摆长增大，单摆的固有频率增大
D. 若仅摆长增大，共振曲线的峰将向左移
限时跟踪检测
A级·基础对点练
题组一　简谐运动的基本特征
A. 1.8 s B. 1 s
C. 0.4 s
C
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A. 频率越高的声音越容易发生明显的衍射现象
B. 小提琴和大提琴发出的声波会产生明显的干涉现象
C. 音乐厅中的声音传进墙面上的吸音材料后频率会改变
D. 小提琴某根琴弦的某次振动函数表达式为y＝0.005cos（500πt） m
D
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A. 频率、振幅都不变
B. 频率、振幅都改变
C. 频率不变，振幅改变
D. 频率改变，振幅不变
C
题组三　单摆及其周期公式
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A. 此单摆的固有周期约为0.5 s
B. 此单摆的摆长约为1 m
C. 若摆长减小，单摆固有频率减小
D. 若摆长减小，共振曲线的峰将向左移动
B
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C
A. 小球振动的固有频率是4 Hz
B. 小球做受迫振动时周期一定是4 s
C. 圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著增大
D. 圆盘转动周期在4 s附近时，小球振幅显著减小
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B级·能力提升练
A
A. a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb
B. b、c摆振动达到稳定时，b摆的振幅较大
C. 由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D. 由图乙可知，此时b摆的周期小于t0
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C
A. 小球运动的周期为0.2π s
B. 光滑球面的半径为0.1 m
C. 小球的质量为0.05 kg
D. 小球的最大速度约为0.10 m/s
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8. 如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
（1）写出该振子做简谐运动的表达式；
答案：见解析
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（2）在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
解析：（2）由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值.
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（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
解析：（3）振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的总位移x＝0，路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m.
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