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第4章《一次函数》复习题---一次函数与三角形综合问题
【题型1 一次函数与三角形的面积问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
2.如图，直线与x轴交于点A，与直线交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
3.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
(3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标．
4.如图，已知直线与坐标轴分别交于A，两点，与直线交于点．
(1)若点在轴上，且，求点的坐标；
(2)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标．
【题型2 一次函数与三角形全等问题】
1.如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．

(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标．
2.如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（ ）

A．3或 B．4或 C．3或 D．4或
3.如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．
4．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【题型3 一次函数与三角形存在问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．
(1)求直线l的解析式及点A，B的坐标．
(2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标．
2.如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．

(1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围；
(2)当的面积为时，求出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标．
3.如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点．
(1)求点E的坐标和直线的解析式；
(2)若的面积为21，求此时P点坐标；
(3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由．
【题型4 一次函数中折叠的综合问题】
1.如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求：
(1)求A、B的坐标；
(2)求的面积．
2.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______．
3.如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．
【题型5 一次函数中生一次函数综合问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，三角形的边在轴上，点的坐标是，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，它们的坐标分别为、，且，．
(1)求、两点的坐标；
(2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿射线运动，点运动时间为秒，连接，三角形的面积为，请求出与之间的关系式；
(3)在（2）的条件下，当点在线段上运动时，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出的值和点坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图①，在平面直角坐标系中，交轴和轴于两点，其坐标分别为，满足．
(1)求点的坐标；
(2)如图②，过点作，截取，点在第一象限内，过点作轴于点，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，连接，若点运动的时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
(3)在（2）的条件下，连接，在坐标轴上是否存在点，使与全等 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，射线交y轴正半轴于点B，，三角形的面积为12．

(1)求点A，点B的坐标：
(2)点C是射线上一点，连接，点C的横坐标为n．
①当点C（不与点B重合）在线段上时，请用含n的式子表示三角形的面积；
②当时，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动连接，若三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点P的坐标及运动时间．
参考答案
【题型1 一次函数与三角形的面积问题】
1.（1）解：设直线的解析式为，
直线经过点， ，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）当时，有，
解得：，
，
，
，
联立：，
得：，
，
．
2.（1）由，得，
∴，
由得．
∴；
（2）是直角三角形，理由如下：
如图，过点B作轴于点C，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
∴，
又，
∴，
∴是直角三角形．
3.（1）解：∵直线与y轴交于点B，
令得，，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴．
（2）解：∵直线与x轴交于点A，
令得，，
∴，
∴，
∴，
设点，则，
∴，
解得或，
∴点D的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，即，
，
，即
点的坐标为或．
4.（1）解：∵直线与坐标轴跟别交于A，B两点，
∴当时，；当时，，
∴，
∴，
∵点P在y轴上，且，
∴，
∴P的坐标为或．
（2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点M的坐标为．
【题型2 一次函数与三角形全等问题】
1.（1）在中，令得，令得，
∴，；
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∵2S AOB=OA OB=AB OC ，
∴；
（3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等，
∴是的斜边，Q为直角顶点，
设，则，
当 OCP≌ PQO，P在C下方时，如图：

则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当 OCP≌ PQO，P在C上方时，如图：

∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
当 OCP≌ OQP时，如图：

则，
∴；
综上所述，Q的坐标为或或．
2.D
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
在中，
令，则，令，则，
，，由勾股定理得，
①当时，如图1，
，
，
；
②当时，如图2，
，
，
，
综上所述：的长为或4．
故选：D．
3.或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形的性质
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴点B的坐标为，
∴，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，
∵，，
∴，
当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况，
当时，，
∴点D的坐标为，即；
当时，，
∴点D的坐标为．
综上所述，点D的坐标为或．
故答案为：或．
4.(1)
解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，
当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)
解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB== ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【题型3 一次函数与三角形存在问题】
1.（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l，
∴直线l的解析式为，
当时，，解得，
当时，，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
设，
当时，，
解得或，
∴M的坐标为或；
当时，
∵，
∴，
∴M的坐标为；
综上，M的坐标为或或．
2.（1）解：点在第二象限，则因为
当时，x，则
（)
（2）由（1）可知
当
则
此时：
所以
（3）存在点M满足条件，
I．当M点在y轴时，若，即，
∴，
∴，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为，
II．当M点在y轴时，若，即，
∴，
∴，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为；
III．当M点在y轴时，若，即，

，
∴，
∴当点M在点B上方时，点M坐标为，
∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；
IV．当M点在x轴时，若，即，
∴，
∴，
∴当点M在原点右侧时，点M坐标为，
∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去；
V．当M点在x轴时，若，即，
∴，
∴，
∵点A坐标为，
∴当点M在点A左侧时，点M坐标为，
∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；
综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ．
3.（1）解：∵点是正方形的一个顶点，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
（2）解：设点P的坐标为，
∴，
解得：，
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
当时，，解得：，，
∴点P的坐标为或（舍去）；
当时，，即，解得，
∴点P的坐标为；
当时，解得：（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【题型4 一次函数中折叠的综合问题】
1.（1）解：∵，
∴当时，，当时，，解得，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，，
∵翻折，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
解：，
∴．
2.或或
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可．
【详解】当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
．
由折叠的性质可得，
．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
点的坐标为，
，
当时，
∵，
∴点O是的中点，
∴；
当时，则；
当时，设，则，
，解得，
此时；
综上，点的坐标为或或；
故答案为：或或
3.解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∵直线与轴、轴分别相交于点，，
当时，，得：，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点的坐标是或．
4.（1））在中，令可得，令可求得，
，；
（2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，
则，即点即为满足条件的点，
，
，
在中，当时，可得，
点坐标为；
（3）如图2，
设，则，
，
，
由折叠的性质可得，，，
，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
，，
设直线解析式为，
，解得，
折痕的解析式为．
【题型5 一次函数中生一次函数综合问题】
1.（1）∵、
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴，；
（2）过点作于点，
∵，
∴，
∴，
当点在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在线段延长线上时，
同理可得：，
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
过点作轴于点，轴于点，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴．
2.（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图①，过点D作于H，
∵∠DAH+∠ADH=90°,∠DAH+∠BAO=90°，
，
在和中，
，
∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1，
当时，
由题意得：则，
；
当时，，
，
则
（3）解：如图②，
，
，
，
，
当时，，
，
∴点M在x轴上．
，
，
当时，，
∵点在轴上，
∵AM/=CD=1, ，
∴OM/=3 ，
∴M/（0,3），
综上所述：与全等时，点M的坐标为或．
3.（1）解：∵三角形的面积为12，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵点A，点B分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，
∴，；
（2）解：①如图，过点C作轴于M．

∵点C在线段上，点C的横坐标为n，
∴
∴三角形的面积为： ，
∴三角形的面积为；
②设直线表达式为，由题意得：
，
解得：，
直线表达式为，
当时，，即，
，
，
，
设点P、Q运动时间为t秒，
当点P在Q左侧时，，
解得，
当点P运动的时间为秒时，
点P的坐标为；
当点P在Q右侧时，，
解得，
当点P运动的时间为秒时，
点P的坐标为；
综上所述，当点P运动的时间为秒时，点P的坐标为；当点P运动的时间为秒时，点P的坐标为．

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