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(共27张PPT)
高教版2023修订版基础模块下册
6.4.2
圆的一般方程
新课引入
01.
新知探究
02.
典例分析
03.
课堂练习
04.
课堂小结
05.
课后作业
06.
利用已学内容推导圆的一般方程
能够根据给定条件求出圆的一般方程
根据圆的一般方程，写出圆心坐标和圆的半径
圆的一般方程与标准方程的理解与转换
判断方程是否为圆的方程.
教学目标
教学重难点
圆的一般方程与标准方程的互化；根据条件确定圆的方程；判断方程是否为圆的方程.
重
圆的一般方程与标准方程的互化；根据圆上三点确定圆的方程；理解圆的一般方程的特点.
难
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
圆的标准方程
回顾
我们把该方程称为圆心为C?(????，????)， 半径为???? 的圆的标准方程.
?
?????????2+?????????2=????2
?
特别的，圆心为原点（0,0），半径为r的圆的标准方程为：x2+y2=r2
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
思考
圆的标准方程（?????????）2+(?????????)2=????2展开可得到一个什么式子?
?
展开，按????，????的降幂排列，圆的方程有何特征？
由(?????????)2+(?????????)2=????2，得
????2?2????????+????2+????2?2????????+????2=????2，
移项得 ????2+????2?2?????????2????????+????2+????2?????2=0。
令????=?2????，????=?2????，????=????2+????2?????2，得
????2+????2+????????+????????+????=0。
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
思考
反过来，方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
对方程????2+????2+????????+????????+????=0配方，得
(????2+????????+????24)+(????2+????????+????24)?????24?????24+????=0
(????+????2)2+(????+????2)2?????24?????24+????=0，
移项得 (????+????2)2+(????+????2)2=????2+????2?4????4。
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
观察
(????+????2)2+(????+????2)2=????2+????2?4????4
?
由圆的标准方程知，
①当????2+????2?4
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
圆的一般方程
表示圆，这个方程称为圆的一般方程.
当????2+????2?4????>0时,二元二次方程
????2+????2+????????+????????+????=0
?
注意此前提条件
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
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课后作业
辨析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
?????????2+?????????2=????2
????2+????2+????????+????????+????=0
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
(????，????)
(?????2，?????2)
半径
????
12????2+????2?4????
条件
????2>0
????2+????2?4????>0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
半径
条件
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
方法总结
求圆的方程：
根据题意，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于????，????，????或????，????，????的方程组；
?
解出????，????，????或????，????，????，得到标准方程或一般方程.
?
01
02
03
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例1
判断正误
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )
（2）二元二次方程????2+????2+????????+????????+????=0一定是某个圆的方程．( )
（3）方程2????2+2????2+2?????????2????????=0表示圆．( )
?
解：
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程，正确．
（2）当????2+????2?4????>0时，才是圆的方程，错误．
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例1
判断正误
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( )
（2）二元二次方程????2+????2+????????+????????+????=0一定是某个圆的方程．( )
（3）方程2????2+2????2+2?????????2????????=0表示圆．( )
?
解：
（3）方程2????2+2????2+2?????????2????????=0经过变形，
得????2+????2+?????????????????=0．
?
????2+????2?4????=????2+(?????)2=2????2>0，所以表示的是圆，正确．
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例2
判断方程x2+y2+2x+4y+4=0是否为圆的方程?如果是,求出圆心坐标和圆的半径.
解一：
由方程????2+????2+2????+4????+4=0,知????=2,????=4,????=4,因为
????2+????2?4????=22+42?4×4=4>0,
所以方程????2+????2+2????+4????+4=0为圆的方程,圆心坐标为
?
(?????2，?????2)即（?1，?2）
?
半径为12????2+????2?4?????即1
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例2
判断方程x2+y2+2x+4y+4=0是否为圆的方程?如果是,求出圆心坐标和圆的半径.
解二：
将方程x2+y2+2x+4y+4=0,进行配方
x2+2x+y2+4y=-4
x2+2x+1+y2+4y+4=-4+1+4
x2+2x+1+y2+4y+4=1
得????+12+????+22=12
?
方程x2+y2+2x+4y+4=0是圆的方程，
圆心坐标为（?1，?2），圆的半径为1.?
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例3
求过三点A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径.
解：
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A(0,0)、B(1,1)、C(4,2)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方程，即
?
????=0????+????+????+2=04????+2????+????+20=0
?
解三元一次方程组，得D=?8,E=6,F=0.
因此,所求圆的一般方程为x2+y2?8x+6y?=0.
将方程x2+y2?8x+6y?=0配方，得(x?4)2+(y+3)2=52，
即圆心坐标为(4,-3),圆的半径为5.
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例4
求过三点A(1,-1)、B(0,0)、C(2,0)的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径.
解：
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A(1,-1)、B(0,0)、C(2,0)三点都在圆上,所以它们的坐标满足圆的方程，即
?
????+????+????+2=0????=02????+????+4=0
?
解三元一次方程组，得D=?2,E=0,F=0.
因此,所求圆的一般方程为x2+y2?2x=0.
将方程x2+y2?2x=0配方，得(x?1)2+y2=12，
即圆心坐标为(1,0),圆的半径为1.
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例5
求以C(1，1)圆心，且过圆x2+y2?6x+2y+1=0的圆心的
圆的方程.
?
解：
圆1的圆心为(3，-1)
设圆的方程为(x?1)2+(y?1)2=r2
?
(3?1)2+(?1?1)2=r2
?
=8
?
(x?1)2+(y?1)2=8
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
1．求下列圆的圆心坐标和半径：
(1) x2+y2-4x=0；(2) x2+y2+4y-5=0;
(3) x2+y2-6x+2y-6=0；(4) x2+2x+y2-6y=0
(1)(2,0)?，2；
(2) (0,?2)，3；
(3) (3,?1)，4? ；
(4) (?1,3)，10 .
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
2．求以点(4,-2)为圆心, 2为半径的圆的一般方程.
圆的方程为(x?4)2+(y+2)2=22
?
(x?4)2=x2?8x+16
(y+2)2=y2+4y+4
?
圆的方程为x2?8x+16+y2+4y+4=4
?
移项得：圆的一般方程为x2+y2?8x+4y+16=0
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
3．方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径.
解一 由方程x2+y2?4x+2y?1=0,知????=?4,????=2,????=?1,
因为????2+????2?4????=16+4?4×(?1)=24>0,
所以方程x2+y2?4x+2y?1=0为圆的方程,圆心坐标为
?
(?????2，?????2)即（2，?1）
?
半径为12????2+????2?4?????即6
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
3．方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径.
解二?将方程x2+y2?4x+2y?1=0,进行配方
????2?4????+????2+2????=1
????2?4????+4+????2+2????+1=1+4+1
????2?4????+4+????2+2????+1=6
得?????22+????+12=62
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
3．方程x2+y2-4x+2y-1=0,是否为圆的方程?如果是,求圆心坐标和圆的半径.
方程x2+y2?4x+2y?1=0是圆的方程，
圆心坐标为（2，?1），圆的半径为6.
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
4.方程????2+????2?2?????4????+6=0表示的轨迹为（ ）A．圆心为(1，2)的圆 B．圆心为(2，1)的圆
C．圆心为(?1，?2)的圆 D．不表示任何图形
?
因为????2+????2?2?????4????+6=0可化为?????12+?????22=?1，
?
即方程无解，所以该方程不表示任何图形.
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
圆的方程
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
?????????2+?????????2=????2
????2+????2+????????+????????+????=0
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
(????，????)
(?????2，?????2)
半径
????
12????2+????2?4????
条件
????2>0
????2+????2?4????>0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
半径
条件
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
1.基础作业：记忆公式与完成《学习指导与练习》；
2.中等作业：复习圆的一般方程公式的推导过程;
3.拓展作业：预习6.5内容.

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