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高教版2023修订版基础模块下册
6.5
直线与圆
的位置关系
新课引入
01.
新知探究
02.
典例分析
03.
课堂练习
04.
课堂小结
05.
课后作业
06.
直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）的判断方法
求过圆外一点的切线方程
计算直线与圆相交时的弦长
教学目标
教学重难点
判断直线与圆的位置关系；求过圆外一点的切线方程；利用圆心到切线的距离等于半径求解.
重
综合运用几何与代数知识；求过圆外一点的切线方程；弦长公式的推导与应用.
难
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
圆的方程
回顾
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
?????????2+?????????2=????2
????2+????2+????????+????????+????=0
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
(????，????)
(?????2，?????2)
半径
????
12????2+????2?4????
条件
????2>0
????2+????2?4????>0
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
结构特征
明确地表达了圆心坐标和半径长.
圆心和半径需要代数运算才能得出.
圆心
半径
条件
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
海上日出
太阳 圆
海平面 直线
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
观察
相交
相切
相离
这三种位置关系时，直线与圆有几个交点呢？
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
直线和圆有两个公共点
直线和圆有一个公共点
直线和圆没有公共点
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
观察
比较圆心到直线的距离d和半径r的大小
?????
????=????
?
????>????
?
相交
相切
相离
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
填空
圆的半径为8cm，圆心到直线的距离d=4.5cm,则直线与圆 .
圆的直径为10cm，圆心到直线的距离d=5cm,则直线与圆 .
圆的直径为13cm，圆心到直线的距离d=7cm,则直线与圆 .
相交
相切
相离
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
判断直线与圆的位置关系
方法一：利用直线和圆的方程求得圆心到直线的距离,再与半径比较大小.
找出圆心和半径
比较圆心到直线的距离和半径的大小关系.
求出圆心到直线的距离
几何法
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
判断直线与圆的位置关系
方法二：利用直线和圆的方程组成的方程组的实数解的个数进行判断.
联立方程组
利用解个数判断直线与圆的关系.
判断方程组解的个数
代数法
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课堂练习
课堂小结
课后作业
例1
判断直线????:2????+????+5=0与圆????:????2+????2?10????=0的位置关系.
?
解一：
将圆的方程????2+????2?10????=0化为圆的标准方程
(?????5)2+????2=25,
?
则圆心坐标为(5,0)，圆的半径为r=5.
因为圆心C (5,0)到直线l:2x+y+5=0的距离
????=|2×5+1×0+5|22+12=155=35>5
?
即d>r,所以直线与圆相离.
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例1
判断直线????:2????+????+5=0与圆????:????2+????2?10????=0的位置关系.
?
解二：
将直线方程与圆的方程进行联立：????2+????2?10????=0①2????+????+5=0②
②变形得????=?2?????5③
将③代入①：????2+(?2?????5)2?10????=0
?
化简得 ????2+2????+5=0.
?
因为Δ=22?4×1×5=?16<0
?
所以方程组没有实数解,即直线l与圆C没有交点,直线与圆相离.
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
切线
经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.
经过圆外一点有几条直线与这个圆相切呢？
经过圆上一点有一条直线与这个圆相切.
经过圆上一点有几条直线与这个圆相切呢？
????
?
????
?
新课引入
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典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
求弦长
如图，AB为圆C的弦
????????=2????2?????2
?
变形????=????2?????????22
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例2
经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？
(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).
解：
由圆的方程(????+1)2+(?????1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),半径r=2.
?
(1)点P(0,-2)到圆心C的距离为
|????????|=(0+1)2+(?2?1)2=10>2
?
即|CP|>r,所以点P在圆外,过点P有两条直线与圆C相切.
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例2
经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？
(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).
解：
由圆的方程(????+1)2+(?????1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),半径r=2.
?
(2)点Q(1,1)到圆心C的距离为
|????????|=(1+1)2+(1?1)2=2=2
?
即|CQ|=r,所以点P在圆上,过点Q有一条直线与圆C相切.
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例2
经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？
(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).
解：
由圆的方程(????+1)2+(?????1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),半径r=2.
?
(3)点R(0,2)到圆心C的距离为
|????????|=(0+1)2+(2?1)2=2<2
?
即|CR|新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例3
已知圆O:x2+y2=1,判断过点????（0，2）与圆O有几条切线,并求切线方程.
?
解：
分析：求切线方程的关键是求出切线的斜率k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定k.
由圆O:x2+y2=1,得圆心坐标为O(0,0),半径r=1.
因为
|????????|=(0?0)2+(2?0)2=2>1
?
即|OQ|>r,所以点Q在圆外,过点Q与圆O有两条切线.
设所求切线l的斜率为k,切线过点（0，2），
?
则切线l的方程为?????2=????(?????0)即?????????????+2=0
?
圆心????到切线????的距离为|????×0?0+2|????2+(?1)2=|2|????2+1
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例3
已知圆O:x2+y2=1,判断过点????（0，2）与圆O有几条切线,并求切线方程.
?
解：
分析：求切线方程的关键是求出切线的斜率k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定k.
|2|????2+1=1
?
因为圆心到切线的距离等于圆的半径,所以
化简得k2+1=2,解得k1=1,k2=-1,
所以切线的方程为?????????+2=0
或????+?????2=0
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
例4
已知直线x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于P和Q两点,求弦PQ的长度.
解：
由圆的方程(x-1)2+(y+2)2=9可知圆心坐标为C(1,-2),半径为r=3.
因为圆心到直线????+?????2=0的距离为d=|1×1+1×(?2)?2|12+12
????????????????????????????????????????????=32=322
?
故弦PQ的长度为2????2?????2=232?3222=29?92=32
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
1.填空：
(1)直线????与圆????相交,则直线????和圆????有___个公共点;
(2)直线????与圆????相切,则直线????和圆????有___个公共点.
?
相交
相切
2
1
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
2.已知圆C:x2+y2=1,点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1).
(1)过点A(1,0)且与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为____;
(2)过点B(1,1)与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为_____;
(3)过点C(0,1)与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为_____.
1
不存在
2
不存在或0
1
0
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
3. 判断下列直线与圆的位置关系：
(1)直线x+y=2，圆x2+y2=2；
(2)直线y=3，圆(x-2)2+y2=4；
(3)直线2x-y+3=0，圆x2+y2-2x+6y-3=0.
解析
(1)r=2,d=2,相切
?
(2)r=2,d=3,相离
?
(3)r=855,d=13,相交
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
4.求过点P(3,2),且与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切的方程.
圆心 C 的坐标是 (2,1)，半径 r 是 1
设切线的方程为 y?2=m(x?3)，即 y=mx?3m+2即 mx-y?3m+2=0
d=|2m?1?3m+2|????2+(?1)2=|m?1|????2+1=1
?
?
解得：2m=0得m=0
y=2是圆的切线
x=3 也是圆的切线
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
解析
5. 已知直线x+y+1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=16相交P和Q两点,求弦PQ的长度.
圆心 C 的坐标是 (1,?2)，半径 r 是4
d=|1?1+1?(?2)+1|12+12=02=0
?
?
直线通过圆心，因此弦 PQ 是圆的直径
|PQ|=8
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
直线与圆的位置关系
两个交点
一个交点
没有交点
相交
相切
相离
?????
????=????
?
????>????
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
求弦长
????????=2????2?????2
?
变形????=????2?????????22
?
新课引入
新知探究
典例分析
课堂练习
课堂小结
课后作业
1.基础作业：完成《学习指导与练习》；
2.中等作业：复习弦长公式的推导过程;
3.拓展作业：完成第6章习题.

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