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22.3 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2024九上·高碑店期中）如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（　　）
A．一直变大 B．始终不变
C．一直变小 D．先变大后变小
2．（2024九上·于洪月考）如图，在中，，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，，垂足为G，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·金东期中）两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·阳新期末）如图，点E是平行四边形的边的中点，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·儋州期中）如图，是的中位线，若，则等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023九下·杭州月考）如图，已知△ABC，点D是BC边中点，且∠ADC＝∠BAC．若BC＝6，则AC＝（　　）
A．3 B．4 C．4 D．3
7．（2023九上·南岗开学考）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·重庆市模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝12，BC＝16，则EF的长为（　　）
A．8 B．15 C．16 D．24
9．（2020九上·牡丹期末）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　）
A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
10．（2021九上·信都月考）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·广州模拟）如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则　 　．
12．（2024九上·中阳期末）如果两个相似三角形的对应边的比是，那么它们的周长比为　 　．
13．现有一个测试距离为5m的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的= 　 　
14．（2023九下·明水模拟）在中，，，过点A的直线交边所在的直线于点E，交边所在的直线于点F，若，则的长为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若，则S△ACD：SBCD：SABC=　 　
16．（2025·关岭模拟）如图，在矩形中，平分，，分别交于点．若，，则的长为　 　．
三、计算题
17．（2023九上·常德期中）如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高m，m ，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点m，m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高．
18．（2022九上·五华期末）北京时间年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
（1）如图1，请你帮助小亮计算条幅长度
（2）若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
19．（2024九下·湖北模拟）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．过点，作直线．
（1）直接写出结果： ， ，直线的解析式为 ．
（2）如图2，点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为．
①当点关于直线的对称点恰好在轴上时，求点的坐标；
②直线是抛物线的对称轴，过点作轴的平行线，与直线和轴分别交于点，．过点作直线的垂线，与直线和轴分别交于点，，连接．当时，求的值．
四、解答题
20．（2025九下·洪泽月考）如图，△ABC中，点D在边BC上，且∠1＝∠B，AC＝，BC＝，求CD的长．
21．（2020八下·龙泉驿期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．
22．（2024九上·桦甸期末）如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A，P三点恰好在一条直线上，测得米，求A与P的距离
23．（2023九上·沙坪坝期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于y轴上的点C，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，连接BC，点P为直线AC、之间第二象限抛物线上的一动点，过点P作轴交直线点F，过点P作交AC于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将原抛物线沿射线PC方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与直线AC交于第一象限的点记为M，线段FC在直线上运动，记运动中的点F为，点C为，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
13．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
14．【答案】10或
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】1：9：10
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
18．【答案】（1）
（2）秒或秒
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
19．【答案】（1），，
（2）①；②或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
20．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
21．【答案】∵AD=9，AE=2DE，
∴AE=6，DE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴ ，
解得：DF=2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
22．【答案】解：由题意可得：，，则.
故.
∵，，，∴.
∴.
答：A与P的距离为150m.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
23．【答案】（1）
（2）的最大值为，此时
（3）或或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
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