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福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试
高一数学学科试卷
（完卷120分钟 满分150分）
班级______座号______姓名______
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知（i是虚数单位），则z共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 一组数据分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的80%分位数是（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 在如下图所示的两种分布形态中（ ）
A. （1）中中位数大于平均数 B. （1）中的众数大于平均数
C. （2）中的众数小于中位数 D. （2）中的中位数大于平均数
4. 已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（ ）
A. 12 B. C. 6 D.
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的众数是3
B. 已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立
C. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人
D. 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则平均数
10. 已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件与事件发生概率分别为，，且，则______.
13. 用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为______cm．
14. 若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点．
（1）求证：平面MBC；
（2）求三棱锥的体积．
16. 某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率．
（1）求李明第三次答题通过面试的概率；
（2）求李明最终通过面试的概率．
17. 如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，．
①求证：平面；
②若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
18. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图．
（1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线
（2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率；
（3）已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）．
19. 如图，在三棱台中，．
（1）过且平行于的平面分别交AB，AC于M，N，求证：．
（2）若三棱台的体积为，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，平面平面ABC．
①求三棱台的表面积；
②设，求异面直线BF与所成角的余弦值的取值范围．
福州一中2024—2025学年第二学期第四学段模块考试
高一数学学科试卷
（完卷120分钟 满分150分）
班级______座号______姓名______
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】0.7##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明过程见解析
（2）①证明过程见解析；②
【18题答案】
【答案】（1），分；
（2）；
（3）平均数为81，方差为27.
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）①；②.

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