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黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测
高二数学
（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为公差不为0的等差数列，若，则（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. 过原点且与圆相切的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A. B. C. D.
4 若随机变量，且，则有（ ）
A. 最大值 B. 最小值
C. 最大值 D. 最小值
5. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（ ）
A. 11 B. 14 C. 11或23 D. 14或23
7. 某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，若对任意不等式恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C 若，则
D. 若，则有最大值
10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（ ）
A. 共有种安排方式
B. 每家公司至少有一人的不同安排共有150种
C. 丙独自一人在一家公司的概率为
D. 、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种
11. 已知函数，则（ ）
A. 当函数单调函数时，
B. 若，则的最小值为
C. 若恰有两个零点，则
D. 当时，曲线有且仅有1条过原点的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，，则_____.
13. 在线性回归分析模型中，变量与相对应的四组数据为，，，，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则_____.
附：，，.
14. 九宫格是一个源自中国古代的概念，具有多种含义和应用，在数学领域：九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行每一列和对角线上的数字之和都相等.将1~9的自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“ ”处应填的数字是_____；如图2，不同的九宫格共有_____种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处有极小值.
（1）求的值及的极小值；
（2）记点，求过点且与曲线相切的直线方程.
16. 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2024年1月至5月的数据统计如下：
月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元）
1月 2.2 198
2月 3.6 32.3
3月 4.5 41.6
4月 49 46.5
5月 6 55.4
参考数据：，.
（1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程（结果精确到0.01）；
（2）从2024年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名.依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？
附：，，，.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 2025年1月，人工智能（AI）领域被一颗重磅炸弹彻底引爆——DeepSeek以令人惊叹的速度迅速走红，成为全球瞩目的焦点，它以“低成本，高性能，开源普惠”重构了AI行业的竞争格局.黔西南州某中学高二年级学生小王拟使用DeepSeek生成范文以提升写作技能，需输入“作文标题”十“关键词”获取范文，若首次输入生成的范文满足需求（即“满意”），则停止输入；若不满意，则仅需修改“关键词”重新输入，以此类推，至多修改3次.已知第次输入获得“满意”范文的概率为，每次输入结果相互独立.
（1）求小王输入3次才获得“满意”范文的概率；
（2）设小王输入次数为随机变量，求的分布列及数学期望.
18. 已知，，为坐标原点，动点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2），是点轨迹上的点，且.记直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值.
19. 已知，，，设函数，，且与的最大值相等.
（1）求，间的等量关系；
（2）（ⅰ）证明：与都恰有1个零点；
（ⅱ）记的零点为，的零点为，证明：.
黔西南州2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测
高二数学
（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】3
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】 ①. 6 ②. 8
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）2，0；
（2）或.
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析，.
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.

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