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2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生名，女生名，其中，男生中有名近视，女生中有名近视在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是( )
A. 均值与方差 B. 排列与组合 C. 概率 D. 独立性检验
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”与，轴的交点，若是边长为的等边三角形，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
6.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，满足，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若函数，若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列选项中正确的有( )
A. 直线在轴上的截距是 B. 直线的斜率为
C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉年所著详解九章算法中“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数下列结论正确的是( )
A.
B. 第行中从左往右第个数是该行中所有数字中最大的
C. 记第行的第个数为，则
D. 记第行第个数字为，第行第个数字为，，第行的第个数字为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ______．
13.已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是______．
14.在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过元的概率分别为，．
从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元的概率；
若名消费者购买了单价不超过元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率结果用分数表示．
16.本小题分
电视剧庆余年自年月日在和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，庆余年剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为：，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多人，没有观看本剧的女性居民有人．
完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看庆余年与性别有关联？
男性居民 女性居民 总计
看过庆余年
没看过庆余年
总计
在这名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过庆余年的居民中随机抽取人，并从这人中随机抽取人采访其观剧感受，记这人中男性居民的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
已知抛物线的顶点是双曲线：的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
当时，求抛物线的方程；
若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若是的极大值点，求的取值范围；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若对恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数为偶函数．
求的值；
设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，点是圆：上任意点，点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时．
求点的轨迹的方程；
轴，交轨迹于点点在轴的右侧，直线：与交于，不过点两点，且与关于对称，则直线具备以下哪个性质？证明你的结论？
直线恒过定点；
为定值；
为定值．
参考答案
1.
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14.
15.解：设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为男性为事件，
包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过元的概率分别为，，
，
所以；
设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为女性为事件，
，
则．
应用全概率公式计算即可；
应用贝叶斯公式计算即可．
本题主要考查全概率公式，贝叶斯公式，属于基础题．
16.解：男居民人数人，女居民人数人，
设看过庆余年的人数为，没看过庆余年的人数为，
则，解得：，
故列联表为：
男性居民 女性居民 总计
看过庆余年
没看过庆余年
总计
零假设：是否观看过庆余年与性别无关，
由所给数据可得：，
所以根据小概率值独立性检验，可以判断成立，
即可以认为是否观看过庆余年与性别无关；
由可知，在看过庆余年的人中随机抽取人中，男性居民有人，女性居民有人，
则的所有可能取值为，，，，且服从超几何分布，
故，，
，，
所以的分布列为：
则．
17.解 ，可得：，
，
设抛物线的方程为，
则，，
．
由，
，
，
，
解得，
，
双曲线的渐近线方程为，
准线方程为．
18.Ⅰ因为，时，，所以，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ因为，，，
因为是的极大值点，
所以，所以，
所以，
令得或，
若，则恒成立，令得，令得，
故是的极小值点，不合要求；
若，令得或，令得，
故是的极小值点，不合要求；
若，则，故在上单调递增，
故不存在极大值点，舍去；
若，令得或，令得，
故是的极大值点，满足要求；
综合可得的取值范围为；
Ⅲ由题意得，，
且当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以对恒成立，等价于，
即，
设，，
则，
令，，则恒成立，
故在上单调递减，又，
所以恒成立，故在上单调递减，
又，所以当时，，
故的取值范围为．
19.解：由题意得，函数的定义域为，
，
因为为偶函数，故，
即恒成立，
则，解得．
由知，，
所以，
所以，，
令，则，，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，
则，
解得，不符合题意；
当，即时，在上单调递减，
则，
解得，不符合题意；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
故，
解得舍，或，显然满足题意；
综上，存在使得函数在区间上的最小值为．
20.解：如图，由方程，得，半径，
在的垂直平分线上，，
所以，
的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
由，则，，，
点的轨迹的方程为．
直线与轨迹交于，两点，设，如图，
消得，
整理得，
，
因为与关于对称，轴，
所以，，，，
，即，
，，
则，
，
即，
即，
若，点满足：，即，，三点共线，不合题意，
，即，
直线中为定值．
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