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2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为，( )
A.
B.
C.
D.
4.设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
若，，则
若，，则
若，，则
若，，则
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
5.一组数据由小到大排列为，，，，，，，，，，已知该组数据的分位数是，则的值是( )
A. B. C. D.
6.在中，为的重心，为上一点，且满足，则( )
A. B.
C. D.
7.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的说文解字中某瓷器如图所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高高为的圆台组合面成，其直观图如图所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为( )
A. B. C. D.
8.如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零复数，，下列结论正确的是( )
A. 若和互为共轭复数，则为实数
B. 若为纯虚数，则
C. 若，则
D. 若，则的最大值为
10.已知向量，满足且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知，，分别为三个内角，，的对边，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为等腰三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 若的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，完全浸没水中，水面升高，则钢球的半径是 ．
13.为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为______米．
14.如图，圆锥的底面圆半径为，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是平面内两个不共线的向量，若，，．
证明：，，三点共线；
若，，点，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点．
证明：平面．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某高校的入学面试中有道题目，第题分，第题分，第题分，第题分，每道题目答对给满分，答错不给分小明同学答对第，，，题的概率分别为，，且每道题目答对与否相互独立．
求小明同学恰好答对道题目的概率；
若该高校规定学生的面试分数不低于分则面试成功，求小明同学面试成功的概率．
19.本小题分
为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．
求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
参考答案
1.
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6.
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8.
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10.
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14.
15.解：证明：因为已知，是平面内两个不共线的向量，
又因为，所以．
所以，，三点共线．
设点的坐标为，则，，
因为，，，恰好构成平行四边形所以，
即，解得，
所以点的坐标为．
16.解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
，，，
，；
在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
的面积为．
17.证明：因为，，，为的中点，为的中点，
连接，，设，连接，
可得四边形为矩形，
可得为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为平面，平面，
所以，
易证得，，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，为的中点，
所以，
又因为，
所以平面；
解：，，
可得，，
由可得平面，
所以为直线与平面所成的角，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设事件“小明同学恰好答对道题目”，
则小明同学恰好答对道题目的概率．
设事件“小明同学面试成功”，
若小明同学恰好答对道题目面试成功，则必定答对了第题和第题，
则小明同学恰好答对道题目面试成功的概率为，
小明同学恰好答对道题目的概率为，
小明同学答对道题目的概率为，
所以小明同学面试成功的概率．
19.解：由频率分布直方图可得：
，
解得，
则综合评分的平均数为
；
由题意，抽取个产品，
其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、，
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间，共个样本点，
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，
则，共个样本点，
所以所求的概率为；
，
．
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