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2024级高一学年下学期期末考试
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 8
3. 已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ）
A. 极差为6 B. 中位数为90
C. 第70%分位数为92 D. 平均数为90.25
4. 某校选修轮滑课程学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（ ）人.
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5. 已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636
6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233
2616　8045　6011　3661　9597　7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75
7. 有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
8. 投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则
B. 若A，B为两个事件，则
C. 若事件A，B，C两两互斥，则
D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变
C. 有A、B、C三种个体按比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
11. 如图：在棱长为1的正方体中，分别为棱上的点（不与端点重合），点为正方形内一点（不在其边上），且共面，，，.则下列说法正确的是：（ ）.
A. 若，则直线与平面的夹角的正切值为
B. 若，，，则
C. 若，有最小值，则的取值范围是：
D. 若，则三棱锥外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则________.
13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差_________．
14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________．
四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）求直线到平面的距离.
16. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求，的值；
（2）设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时，其月奖励金额为0.3千元；当时，其月奖励金额为0.8千元；当不低于时，其月奖励金额为1.1千元．根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值．
17. 如图，平行六面体中，，，设向量，，.
（1）用、、表示向量，并求；
（2）证明：直线平面.
18. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（3）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
19. 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2.
（1）若平面
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围.
（2）在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值.
2024级高一学年下学期期末考试
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】CD
【10题答案】
【答案】CD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】2.9
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1），
（2）0.699（千元）．
【17题答案】
【答案】（1），
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
（2）

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