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2024-2025学年吉林省白城一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四边形内接于圆，且，，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，延长交准线于点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.设函数，若，则，满足的关系式为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列，通项公式为，，将数列、的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为则( )
A. B. C. D.
6.在同一平面内，向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 为奇函数
C. 在区间上单调递增 D. 是的零点
10.下列命题正确的是( )
A. 已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B. 在中，，，，则这样的三角形有两个
C. 已知是边长为的正三角形，其直观图的面积为
D. 已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为
11.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数，则下列结论正确的是( )
A.
B. 黎曼函数的定义域为
C. 黎曼函数的最大值为
D. 若是奇函数，且，当时，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方体的体积为，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为______．
13.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______．
14.已知点、位于抛物线上，，点为线段的中点，记点到轴的距离为若的最小值为，则当取该最小值时，直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间解析几何中，可以定义曲面含平面的方程，若曲面和三元方程之间满足：曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过上一点，且以为方向向量．
指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；
证明：直线在曲面上；
若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求；
若为上一点，且，求的面积．
17.本小题分
某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销现随机抽取个品牌产品，得到其促销活动经费单位：万元与销售额单位：万元的数据如下：
品牌代号
促销活动经费
销售额
若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”．
从这个品牌中随机抽取个品牌，求取出的个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；
从这个品牌中随机抽取个，记这个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望．
18.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数在上的最大值与最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若函数存在正零点．
求的取值范围；
记为的极值点，证明：．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
即，
也即在平面上到原点距离为定值，
从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，为半径的圆．
设是直线上任意一点，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，，，
所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上．
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，
所以点的坐标为，
在曲面上，，
整理得，
由题意，对任意的，有恒成立，
，且，
，或，
不妨取，则，或，
，或，
又直线的方向向量为，
则异面直线与所成角的余弦值均为．
16.解：在中，，，，
由余弦定理，
得，
即，而，解得，
由正弦定理得，
所以；
由三角形面积公式得，
所以．
17.解：设取出的个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件，
由题知个品牌中“有效促销”有个，“过度促销”有个，
则；
由题知，个品牌中有个品牌是“有效促销”，
所以的可能取值是，，，，
则，
，
所以的分布列为：
所以．
18.解：，
，
，
，又，
在点处的切线方程为，即为；
由可知当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
在上的最大值为，最小值为．
19.解：由已知可得的定义域为，且，
因此当时，，从而，
所以的单减区间是，无单增区间；
由知，，
令，，
当时，，单调递减．
当时，可知，在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
当时，，，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
当时，，此时，，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减．
令，则当时，，
故在内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数的取值范围为；
由题意，，即，
从而，即，
由知当时，，即，有，
又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得．
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