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2024-2025学年湖南省长沙市地质中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是锐角三角形，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为，则的定义域是．
A. B. C. D.
4.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”“遗忘曲线”中记忆率随时间小时变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为参考数据：，( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
5.已知函数是定义在上的奇函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知，为非负实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，，，分别是侧棱，，上的点，且，设直线，与平面所成的角分别为，，平面与底面所成的锐二面角为，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，下列说法正确的是( )
A. 当时，为偶函数
B. 当时，在区间上单调递增
C. 当时，在区间上的值域为
D. 当时，函数在区间上有个零点
10.直线：与轴的交点为抛物线：的焦点，若点为坐标原点，与交于、两点则( )
A.
B.
C. 重心横坐标的最小值为
D. 以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值
11.已知函数，则方程实数根的个数可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
13.已知在中，为平面内一点，则的最小值是______．
14.已知是定义在上的偶函数，且，恒成立，若，则满足的实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数；
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16.本小题分
如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求多面体的体积．
17.本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
若为定义在上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．
18.本小题分
中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束年月日，中国队对战瑞典队，最终以：取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为．
求中国队以：的比分获胜的概率；
求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；
求至多进行四场比赛的概率．
19.本小题分
设数列是，，，的一个排列由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中任取不大于的正整数，，当时，若数列的任意长为的子列集和数列，，，的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”．
Ⅰ判断下列数列是否为“好数列”：
，，，，；，，，，，．
Ⅱ证明：由，，，的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”表示不超过的最大整数；
Ⅲ若数列为“好数列”，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，，解得；
由知，，，
向量与所成角为锐角，
，解得，
又当时，，可得实数的范围为且
16.Ⅰ证明：底面是菱形，，
四边形是正方形，，
，且平面平面，
平面，平面．
Ⅱ解：连结，交于，
四边形是正方形且平面．
平面，又平面，，
底面是菱形，，
又，平面，
，，，
，
多面体的体积：
．
17.解：是局部奇函数，理由如下：
若，则，
整理得，有解，
所以或，
故是局部奇函数；
由题意得，存在使得，
所以有解，
整理得，，
令，则，，
从而关于的方程，
令，
当时，满足题意，此时，
当时，在有解等价于，此时无解，
所以的范围，
令，则，
可化为，对称轴，
当时，在上单调递增，当时，函数取得最小值，
当时，在上先减后增，当时，函数取得最小值，
综上，．
18.解：若根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为，
设事件“中国队以：的比分获胜”，
中国队在每一场中获胜的概率均为，
，
中国队以：的比分获胜的概率为；
设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：
设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，
，
设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，
，
与是互斥事件，
，
中国队在已输一场的情况下获胜的概率为；
设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件，
，，
，，
，，，是互斥事件，
，
至多进行四场比赛的概率为．
19.解：根据题目定义：设数列是，，，的一个排列．
由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．
任取不大于的正整数，，当时，
如果数列的任意长为的子列集和数列，，，的任意长为的子列集，
都有，所以称数列为“好数列”．
对于：检验可知是“好数列”；
对于：例如，，取长为的子列集和长为的子列集，
此时，所以不是“好数列”．
证明：若，，是“好数列”，对满足的正整数，，
数列，，的任意长为的子列集和数列，，，的任意长为的子列集，
都有，即存在．
令与
于是集合和也分别是数列和数列，，，的子列集，
又存在，得．
因此．
数列，，，也是“好数列”．
设与中较小者为，所以且，
因此，即，于是，
所以由，，，的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列得证；
的最大值为．
先考虑．
假设存在“好数列”，，由可知，不妨设．
如果，所以由长为的子列集和与集合的交集非空，知，
即此“好数列”为：，，，，，，，．
又，长为的子列集和与集合的交集非空．
所以且，与矛盾．
如果，所以由长为的子列集和与集合的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，矛盾；
再考虑假设存在“好数列”，，．
由可知，不妨设．
如果，所以由长为的子列集和
与集合的交集非空，知
又，长为的子列集和与集合的交集非空．
所以且，与矛盾．
如果，所以由长为的子列集和
与集合的交集非空，知；
又与集合的交集非空，知，
此时，长为的子列集，矛盾．
所以，当时，不存在“好数列”．
又数列，，，，，，是“好数列”．
综上，若数列为“好数列”，的最大值为．
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