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2024-2025学年云南省丽江地区中学等学校联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，且，，则( )
A. B. C. D.
5.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨某训练小组有名划手，其中有名只会划左桨，名只会划右桨，名既会划左桨又会划右桨现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的下四分位数是
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 变量，满足经验回归方程为，若样本点中心为，则
D. 已知数据，，，的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
11.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上运动，坐标原点为若最小值为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当点为的重心时，
C. 当点为的垂心时，以为直径的圆与有公共点
D. 当、两点关于直线对称时，与面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项式中，所有的二项式系数之和为，则常数项等于______．
13.设复数，则下列命题中正确的是______填序号
；
；
在复平面上对应的点在第一象限；
虚部为．
14.已知，函数若存在，使得，则实数的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
16.本小题分
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求直线的斜率的取值范围；
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．
求证：平面；
若且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
曲线在处的切线方程；
设函数．
若在定义域上恒成立，求的取值范围；
若函数有两个极值点为，，证明：．
19.本小题分
某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立．
若比赛规则为：每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望；
若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值．
若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积
16.解：设椭圆的方程为：，
由已知，，，
得，，
所以椭圆的方程为；
由题意，直线的方程为，，，
联立椭圆方程，可得
可得，，
由即有或，
即，
可得，
可得，
有，
解得
综上：斜率的取值范围为或．
17.证明：如图．连接，，由已知得四边形是矩形，
故AB与交于点，且点为中点，
又是的中点，所以，
又由于平面，平面，
所以平面；
由于在直三棱柱中，平面底面，且平面平面，
故过在平面内作直线，
所以直线平面，
又，平面，
所以，，
由于直线，，两两垂直，故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系．
由于，
设，则，故B，，
设点，
由于，，，
所以，
即，故，
设平面的法向量为，，，，
则，则，所以，
令，则，即，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
由于，所以，
所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是．
18.解：，
，，
在处的切线方程为；
，
，，
，，
，
令，
，
当时，，当时，，
，，
所以的取值范围为；
，
，
当时，令，
则，
所以在上单调递增，不满足有两个极值点；
又有两个极值点，所以．
，，
，
，
当时，要证，即证，
即，即，
设，，
，即证，
设，
则，
设，，
单调递增，，
单调递增，，
即．
19.由比赛规则知，局比赛后，甲乙双方共获得分，若比赛进行了局还未结束，
则双方共计分，此时双方均为分，则第局比赛后必定有一人积分可达到分，
因此比赛次数不会超过，令比赛共进行了局，，
记随机事件“第局比赛中甲获胜”，，
，
，
，
．
所以的分布列为：
数学期望．
依题意，，，
则，
记，已知，
则，
由，得，
即，，
，，
则当时，最大，所以的估计值为．
在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，
记乙在每场比赛获胜的概率为，
所以
，
由知，，因此，
所以单调递增．
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