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2024-2025学年广东省深圳市某校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
2.年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰这五层楼预计共挂盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为( )
A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏
3.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是( )
A. B.
C. D.
4.函数的单调递增区间为( )
A. 与 B.
C. D.
5.某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动某单位初步推选出名党员和名民主党派人士，并从中随机选取人组成代表队参赛在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
6.将个编号为，，，的小球放入个编号为，，，的盒子中，下列说法错误的是( )
A. 恰有一个空盒，有种放法
B. 把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有种放法
C. 有种放法
D. 每盒至多两球，有种放法
7.若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若点是曲线上任意一点，且点到直线的距离的最小值，则的值为( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲公司从某年起连续年的利润情况如下表所示．
第年
利润亿元
根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是( )
A. B. 相关系数
C. 第年的利润预计大约为亿元 D. 第个样本点的实际值比预测值小
10.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，且，则
B. 若随机变量，，则，
C. 已知事件，，若，且，，则
D. 有个白球和个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为，则
11.如图所示，正方体的棱长为，点为侧面内的一个动点含边界，点，，分别是线段、、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 的最小值为
D. 若，则点的运动轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，项的系数为______．
13.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作详解九章算法，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列若某个二阶等差数列的前项为，，，，则该数列的第项为______．
14.，，且，不等式恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
当时，求函数的极值．
16.本小题分
已知数列中，，
证明数列是等差数列，并求的通项公式
设，求的前项和．
17.本小题分
深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表：
周末使用手机时长 合计
男生人数
女生人数
合计
若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”．
请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系；
性别 使用手机 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况：
(ⅰ)在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率；
(ⅱ)在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望．
附：，．
18.本小题分
如图，四边形是正方形，平面平面，，，，．
求证：平面；
求二面角的大小．
点在直线上，直线与直线的夹角为，二面角为，是否存在点，使得如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
证明：；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.由于函数，因此，切点为，
由于导函数，因此，
根据直线的点斜式方程，得切线为，即．
根据第一问可知，有导函数，
当时，令导函数，得，
当变化时，导函数和函数的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
因此当时，函数无极大值，有极小值．
16.证明：，，
数列是等差数列，公差为，首项为．
．
．
解：，
的前项和，
，
，
．
17.根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 使用手机 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
零假设为：性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过．
设抽取的三人中男生的人数为，易知名周末使用手机小时及以上的同学中有名男生，名女生，
所以的所有可能取值为、、、，
且服从超几何分布：，
则恰好抽中名男生的概率为；
(ⅱ)由题意得，的所有可能取值为、、，
则，，，
则的分布列如下：
所以．
18.证明：如图，以为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，

依题意，得，，，，，，
取的中点，连接，则，，，
所以，则，又平面，平面，
所以平面．
取中点，则，又，则，
由，，且，，平面，
则平面，
由，则平面，平面，故CD，
由，、平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量．
设平面的法向量，且，，
则，所以，即，
令，得．
所以，
由图，二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为．
设 ，由可知二面角的大小为，．
所以直线与直线的夹角为，
，，则 ，，．
，
化简可得，
解得 ，
此时 ，
即存在点 ，．
19.，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：，，
，
令，，
则在上单调递增，
当时，；又，
所以存在，使得，即，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
所以，
由可得，
所以，，
所以，即，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
，
所以在上单调递增，即，
令，，
，
令，得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
第1页，共1页

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