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全市2024—2025学年度第二学期普通高中质量监测考试
高一年级数学试题
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.5—5.7，必修第二册．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ）
A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 的值为（ ）
A B. C. 1 D.
4. 设m，n，l是三条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5. 已知向量，，若⊥，则与的夹角为（ ）
A. 45° B. 135° C. 30° D. 60°
6. 若，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A. 事件A与B相互独立但不互斥 B. 事件A与B互斥但不相互独立
C. 事件A与B相互独立且互斥 D. 事件A与B既不相互独立也不互斥
7. 如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ）
A. B.
C. D.
8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ）
A. 这8名女生数学成绩的极差为14
B. 这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67
C. 为了增加数学成绩区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是
D. 这20名学生的数学成绩的方差是33
10. 下列对函数的判断中，正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到
C. 当，时，若，则
D. 当，时，若当时，取到最大值，则
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当G为棱中点时，直线平面
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 若H是棱上的动点，则的最小值为
D. 若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知纯虚数z满足，则z可以是______．
13. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为______．
14. 某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”．
（1）用数组表示可能结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间；
（2）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率．
16. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的最大值．
17. 如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点．
（1）证明：．
（2）当D为棱的中点时，求二面角的正切值．
18. “文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整；
（3）市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题：
①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为）
②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？
调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比．
19. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）若，，求的模；
（2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
（3）在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值．
全市2024—2025学年度第二学期普通高中质量监测考试
高一年级数学试题
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册5.5—5.7，必修第二册．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】（答也可以）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1），71；
（2）不需要调整，理由见解析；
（3）82%
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）不正确，理由见解析；
（3），的最小值为.

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