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2024-2025学年湖北省荆州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为( )
A. B. C. D.
4.设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若满足，则 D.
5.已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若与是异面直线，，，则
D. 若，，，，则
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设的内角，，所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为，则下列结论不正确的是( )
A. 若，则，，三点共线
B. 若，则点为的重心
C. 若，则平分
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B. 数据，，，，，，，的下四分位数是
C. 若数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
D. 若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”如图所示，则样本数据的平均数大于中位数
10.若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C.
D. 的解集为
11.已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形
B. 若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为
C. 从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为
D. 若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为______．
13.为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计现抽取高一学生人，其每周阅读课外书籍数量的均值为本，方差为；抽取高二学生人，其每周阅读课外书籍数量的均值为本，方差为则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数
量的总样本的方差是______．
14.如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，
则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学举办学生数学素养知识竞赛现从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
试估计全校答卷成绩的第百分位数保留小数点后一位和平均数单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
在中，若边的中线，求面积的最大值．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面．
求点到平面的距离；
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数其中，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数．
求的解析式；
当时，求函数的单调增区间；
记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点．
求的解析式；
将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图所示．
求直线与平面所成的角的正弦值；
求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积．
注：球缺的定义：如图，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为．
参考答案
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14.
15.由频率分布直方图，可知，则．
前三个小矩形的面积和为，
前四个小矩形的面积和为，则第百分位数位于内，
由，得第百分位数为，
平均数为
，
综上所述全校答卷成绩的第百分位数为，平均数为．
16.因为，
所以，可得，
可得，
又，
可得；
因为是中点，
所以，
可得，
即，
可得，
可得，
可得，
因为，
所以，可得，
由于，可得当且仅当，
所以，即当时，最大值为．
17.过点作于，垂足为点，
由平面平面，平面，平面平面，，
得平面，
则线段即为点到平面的距离，
由底面，平面，得，即为直角三角形，
在中，，，，
所以，
故点到平面的距离为；
证明：由可知平面，又平面，得，
由底面，平面，得，
由，，、平面，，
得平面；
作于，连接，
由底面，、平面，得，，
由，，、平面，，
得平面，又平面，得，
则即为二面角的平面角．
由，，得，，
在中，，
所以．
故二面角的余弦值为．
18.，
由的图象向右平移个单位长度，
得，
此函数是偶函数，则，，，；
因为，所以当时，，
解法一、
由，，得，；
因为，所以当时，，
所以的单调增区间为；
解法二、
由，得，
令，得，
所以的单调增区间为；
由，可得，
令，作出函数在上的图象，如图所示，
由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点．
当时，；当时，，
则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，，，，，不妨设，
，，，，
所以，，
，，
解得，，，，所以．
19.由图可得，，
周期，所以，
由，得，
所以，
所以，因为，所以当时，，
所以；
如图，设在平面上的射影为，连接、，
则，，．
在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，
则，，，，
因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，
故AB和平面所成角为，
，
所以和平面所成角的正弦值为．
由图，设与轴相交于点，
如图所示，由，
得，，
则，即与重合，即，，三点共线，
取线段的中点，则，
得，，即，则，
且，又轴，故FC轴，
设线段的中点为，连，则，且，
又平面，则平面，
，
则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆，
同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆．
所以球与二面角所围成的几何体如图所示．
不妨设其体积为，则，
因为，得球缺的高，
故
，
，
故．
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