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2024-2025学年安徽省部分学校高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知条件：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数的部分图象如图，该函数的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
5.某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费千万元，得到各旅游景区收益的增加值万元，对应数据如下表所示：
投入的治理经费单位：千万元
收益的增加值单位：万元
若与的回归直线方程为，则相应于点的残差是( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在曲线：上，点在直线上，则，两点距离最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.下列函数在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
11.已知盒子中有个白球和个黑球，盒子中有个白球和个黑球先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则______．
13.年北京冬奥会防寒服内芯一仿鹅绒高保暖絮片备受关注，为了保证其质量，厂方从生产的保暖絮片中处随机抽取多次，分别测量了其纤维长度单位：的均值，并制成如图频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的第百分位数是______．
14.已知函数有三个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
若的两根分别为和，求实数，的值；
若，解关于的不等式．
16.本小题分
为了研究臭氧效应，先选取只小白鼠，随机地将其中只分配到试验组，另外只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量单位：试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
试验组的小白鼠体重的增加量为
求只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
试验组
根据中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，其中．
17.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用局胜制，只要有一支球队先获胜场比赛结束在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第，，场获胜的概率为，第场获胜的概率为，各场之间互不影响．
求甲队以：获胜的概率；
设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望．
19.本小题分
已知函数，直线与曲线相切．
求实数；
若函数有三个极值点，，：
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.函数的两根分别为和，
则，解得．
由已知得，
由整理得：，
的两根为．
当时，，解得；
当时，不等式为，的解集为；
当时，，解得．
综上，
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
16.由题意知，这只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第位和第位数据的平均值，第位为，第位为．
所以这组数据的中位数为．
填写列联表如下：
合计
对照组
试验组
合计
根据中的列联表数据，结合给定公式计算，
根据小概率值的独立性检验知，则，
所以依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异．
17.由已知得，，
故，
即，
即，，
所以；
由知：，
由，
化简得，
即，
故有两个不等的实数解，
令，
即有两个不等的实数解，
令，
故在单调递减，在上单调递增，
又，
故实数的取值范围为．
18.甲队以：获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，
则甲队必在第五场获胜，第，，场中胜场，负场，则甲队以：获胜的概率为．
根据题意可取，，，
当时，即甲再连胜场，所以，
当时，有种情况，甲胜或乙胜，
所以，
当时，有种情况，甲胜或乙胜，
所以，
所以的分布列为：
所以数学期望．
19.因为，
所以，
设直线与曲线相切于点，
则，解得；
由题意及得，，，
在中，，
所以，
在中，，
，
因为有三个极值点，，，
所以有个根，即有个根，
设其中一个根为，则有个根，，且都不为和，
即有个解，
所以直线与有个交点，
设，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
因为当时，，当时，，
所以，
因为直线与函数有个交点，且交点横坐标不为，
所以．
证明：由题意，及证明如下，，
在中，，
有三个极值点，，，其中，
则另外两个，，是方程的根，即的两个根，
所以要证，即证明，
设，
在中，，
因为，
所以，在上单调递减，
要证，即证，
因为，所以，
因为在上单调递减，
所以要证，即证，
即证，
即为，，
设，，
，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
所以．
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