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石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
5. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕 转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79
C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
7. 文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若，则或
C. 若复数是纯虚数，则实数或－4
D. 在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则
10. 设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若是互斥事件，则
B. 若则
C. 若是相互独立事件，则
D. 若，则是相互独立事件
11. 已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 不存点，使与 所成角等于
C. 二面角正切值的取值范围为
D. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在中，，则中最大角余弦值为________．
13. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________．
14. 已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论：
①直线与平面相交；
②直线平面；
③若，则点D到平面的距离为；
④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等.
其中所有正确结论的序号是____________．
四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量．
（1）求；
（2）设向量的夹角为，求的值．
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正切值．
17. 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
（1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
（3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点．
（1）求角的大小；
（2）若，求值；
（3）若面积，点是的重心，求的最小值．
19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
（1）若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：；
（3）在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：．
石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】②③④
四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）2
【17题答案】
【答案】（1）0.12，17万元
（2）
（3）平均数，方差
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）证明见详解

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