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数学人教版9年级上册
第22单元（二次函数） 单元测评卷
（时间：120分钟 总分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题（共15题 满分45分 每题3分）
1．竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度．是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
3．关于二次函数，现给出以下结论：
①函数图象经过轴上一定点，且该点的坐标为；
②当时，函数图象的顶点坐标是；
③当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；
④当，时，随的增大而减小．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则d的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
5．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“<”表示为（ ）
A． B． C． D．
6．如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点A(，)，B(，)，C(，)在二次函数（c>0）的图象上，点A、C是该函数图象与正比例函数（k为常数且k>0）的图象的交点，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　)
A． B．
C． D．
11．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（ ）

A．
B．顶点坐标为
C．对称轴为直线
D．当时，y随x的增大而增大
13．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
14．已知正方形的边长为，则它的面积与边长的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
15．在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．或
二、填空题（共10题 满分30分 每题3分）
16．对于抛物线，有下列说法，①抛物线的开口向上，②对称轴为，③顶点坐标为，④点在抛物线上，⑤抛物线与x轴有两个交点．其中正确的有 ．
17．已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空）
18．已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是 ．
19．点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ．
20．已知抛物线，当时，随着的增大而 ；当时，随着的增大而 ．
21．已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
22．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是 米．
23．点在一个二次项系数为1的二次函数的图像上，试写出一个符合题意的二次函数的解析式： ．
24．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线向右平移（）个单位得到另一抛物线，两抛物线相交于点，记的顶点为，作点关于轴的对称点．若四边形是正方形，则经过、、三点的抛物线的解析式是 ．
三、解答题（共5题 满分45分）
26．如图，关于的二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在．请求出点的坐标．像
27．定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的友好同轴二次函数为？
(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．
(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图①，有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合．如图②，水柱距水池中心处到达最大高度为6，建立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)选择图②中一条抛物线求其对应的函数关系式．
(2)求点M的纵坐标．
(3)如图③，在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头，且喷射水柱竖直向上，高度均为m，相邻两个直线型喷头的间距均为 m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布，且每相邻的两个直线型喷头的间距为 m．直接写出离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离．
30．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．
参考答案
1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．A 8．B 9．D 10．A 11．A 12．C 13．B 14．C 15．B
16．①②⑤
17．
18．
19． 点C
20． 减小 增大
21．4
22．
23．（答案不唯一）
24．106
25．
26．（1）解：把和代入，
解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得：或，
，
，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，
①当时，，
或
，；
②当时，，
；
③当时，
此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或．
27．（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
（2）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
28．（1）解：对于，
令，则，
令，解得：，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，连接，
设点P的坐标为，则点，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积存在最大值，最大值为64；
（3）解：存在，理由如下：
①当点B为直角顶点时，如图，此时，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，解得或0（舍），
∴，
∴；
②当点C为直角顶点时，如图，此时，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，
由①知，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为m，则，
∴，
∴，解得或8（舍），
∴．
综上所述，存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或．
29．（1）解：选择图②中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为，
选择图②中第二象限内的抛物线求其对应的函数关系式．
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得．
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴点M的纵坐标为；
（3）解：当时，
，
解得：，，
∵安装后关于OM成轴对称分布，实心石柱直径为，邻的两个直线型喷头的间距为 m，
∴，，，
∴，
∴每边能装7个碰头，总的个喷头，
∴离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离为：．
30．（1）解：当时，，
∵当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．
∴结合题图可知抛物线L过点，
把，分别代入，
得，解得，
∴抛物线L的解析式为．
∵，
∴抛物线L的顶点坐标为．
（2）由题意得，，．
令，得，
解得．
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．
（3）不能．
理由如下：令，解得，
∴抛物线L与x轴负半轴交于点．
由题意可设抛物线M的解析式为，把代入，
得，
解得．
∵抛物线M的对称轴在直线左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为．
当时，，
故弹珠不能弹出箱子．
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