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2024-2025学年山东省菏泽市高一下学期教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A. 三次都没有中靶 B. 三次都中靶 C. 至多一次中靶 D. 只有一次中靶
3.若菱形的边长为，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
6.如图，某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部和教学楼顶部之间的距离，从点测得点的仰角，点的仰角正弦值为，，旗杆高米，教学楼高米，则( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知样本数据，，，的平均数和方差分别为，，样本数据，，，的平均数和方差分别是，，若，则( )
A. B. C. D.
8.现有大小和质地相同的个球，其中有个红球标号分别为、、，个绿球标号分别为、、，按一定方式抽取两球，标号之和大于即为取球成功现有三种抽取方式：方式有放回依次抽取两球方式不放回依次抽取两球方式按颜色等比例分层抽取两球记这三种方式取球成功的概率分别为，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若虚数，是方程的两根，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知三个随机事件，，，概率均不为，下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，互斥，，，则
C. 若，则
D. 若，则
11.如图，正方体的棱长为，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形
B. 存在点，使得平面
C. 的最小值为
D. 若，则点轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正方形的边长为， ．
13.在等腰梯形中，，，，该梯形绕直线旋转一周形成的面围成的几何体体积为 ．
14.如图，平面凸四边形中，，，平分．，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，向量，，
若，求的值
若点在线段的延长线上，且，求点的坐标．
16.本小题分
某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由名评委进行评分，评分如下：，，，，，，，
第二轮由名社区居民进行评分，将居民的评分分成，，，，五组，并画出其频率分布直方图如图．
求的值并估计这名居民评分的中位数
若第一轮评分的平均分为，第二轮评分的平均分为同一组中的数据用该组区间的中点值作代表记
根据的取值将社区建设满意度分为三个等级：
的取值
满意度等级 不满意 满意 非常满意
试估计该社区建设满意度等级．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，
求角
若，为平面内一点，满足，求面积的最大值．
18.本小题分
品酒师测试通常采用的方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序．
试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果构成的样本空间
甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求
甲连续两天都参加了两轮测试，两天测试结果相互独立，记事件“在这两天中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求并解释其意义．
19.本小题分
如图，与所在平面互相垂直，在直角三角形中，，在中，，，点、分别在线段、上，将沿直线向上翻折，使点与点重合．
证明：
求直线与平面所成角的正弦值
判断四棱锥是否存在外接球，若存在，求出外接球半径，若不存在说明理由．
参考答案
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15.解：，
因为，
所以得；
设，
因为点在线段的延长线上且，
所以，
所以
解得：
所以点的坐标为．
16.解：由得：，
因为，，
所以名居民评分的中位数位于区间，
设名居民评分的中位数为，
则，解得，
所以的值为，中位数为．
，
，
所以，
所以该社区建设满意度等级为满意
17.解：由，
得，
由正弦定理得，
所以，
化简得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
，
得为的重心，
所以，
由余弦定理，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以的面积最大值．
18.解：所有可能的构成的样本空间
，，，，，．
令表示事件，表示事件，表示事件．
由知道，，，
甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为，
记事件，，，，，，
则，
因为两轮测试结果相互独立，所以
，
，
，
因为，，两两互斥，所以
．
记事件甲在第天测试中被授予特级品酒师称号，，，
则．
因为，
，相互独立，所以
．
说明甲在两天中通过随机猜测获得“特级品酒师称号的概率很小，测试方法非常合理．
19.解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
而平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
又平面，
所以；
连接．
设，则，，，
依知：平面，平面，则，
在中，又得：，
又，，故，
所以，即为的中点，
设与平面所成的角为，点到平面的距离为，
则，
所以与平面所成的角的正弦值为．
在中，依，
得：，
解得：，，
所以，
取的中点，连结，．
在中，，
依知：，
即为三棱锥的外接球的球心，
，
又，故，
故四棱锥不存在外接球．

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