资源简介

2024-2025学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共条．学校安排名男教师和名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各名，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 函数有个极值点
B. 函数在区间上没有零点
C. 函数在区间上单调递减
D. 曲线在点处的切线斜率小于零
6.已知等差数列和等比数列，，则满足的数值( )
A. 有且仅有个值 B. 有且仅有个值 C. 有且仅有个值 D. 有无数多个值
7.甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为没有平局则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8.设是所有项都不为的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数的定义域为，若对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数具有性质下列四个函数中，具有性质的是( )
A. B.
C. D. ．
10.已知函数则下列结论中错误的是( )
A. 当时，函数在单调递减
B. 当时，函数有最大值
C. 当时，函数有个极值点
D. 当时，直线与曲线恰有个交点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知数列的通项公式为，则 ；记的前项和为，则 用数字作答
12.已知函数，则其定义域为 ， ．
13.现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为 ．
14.已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 ．
15.已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且给出下列四个结论：
实数；
数列为等差数列；
当时，对任意，存在，当时，；
当恒成立时，一定为递减数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
17.本小题分
幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的个使用率较高的模型，其幻觉率如下表所示：
公司 甲 乙 丙 丁
模型
幻觉率
从表中提供的模型中任取一个，求该模型幻觉率低于的概率；
从表中提供的幻觉率低于的模型中任取个，用随机变量表示其中幻觉率低于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望
已知某同学向表中乙或丙公司的某个模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大结论不要求证明
18.本小题分
已知函数．
当时，直线是曲线的一条切线，求的斜率的最小值
当时，求证：函数存在极小值；
若存在实数，使得关于的不等式的解集为，直接写出的取值范围．
19.本小题分
给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：；对任意，总存在，使得记数列的个数为
写出两个数列；
若为数列，求的值；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.因为，所以．
因为
，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即；
函数的定义域为，因为恒成立，恒成立，
所以令，解得或，令，解得，
所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为．

17.个模型，幻觉率高于的有，，，，，共有个，所以幻觉率低于的概率为
幻觉率低于的模型中共有个，其中幻觉率低于的模型有个，故，
故分布列为
，
故
来自于乙公式的概率大，理由如下：
“模型来自于乙公司”， “模型来自于丙公司”，
“模型的编号为”，，“模型的编号为”，，
“模型产生了幻觉”
则，
则
则，
由于
所以
，
由于，因此模型来自乙公司的概率大

18.函数的定义域为．
当时，，
，
设，
则．
令，因为，所以解得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，
即切线的斜率的最小值为；
函数的定义域为．
，
令，则．
因为，所以，又因为，所以，
所以在上单调递增．
又因为，
当时，，所以，
又因为在上连续，
所以存在，使得，即，
所以当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；
所以是的极小值点，函数存在极小值；
等价于，即，
令，
若存在实数，使得关于的不等式，即的解集为，
，令．
当时，的判别式，
所以在时恒成立，即在时恒成立，
即在上单调递增．
因为，所以是唯一的零点，
当时，；当时，，
能满足使的解集为，符合题意；
当时，的判别式，
故有两个不相等的实数根，由韦达定理可知，
，因此两根均为正根，且，
则可知在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在时取到极大值，在处取到极小值．
又因为，所以，，
又当时，，所以在上存在一个零点，
在上存在另外一个零点，
所以的解集为，
与的解集为相矛盾，故不符合题意．
综上可知，的取值范围为．

19.数列：，，；，，；，，；，，任取两个．
当时，因为或，
所以或，
所以；
当时，因为；；；
均是数列，所以可以为，
假设存在，则此时，
记，其中
记，其中
由条件，之后必有，
直到集合中某一个数出现在数列的最后两项中；
同理集合中必有某一个数出现在数列的最后两项中，
由于集合，中的数均与同奇偶，所以同奇偶，不妨设均为奇数，
考虑数列中最后一项偶数，必不能满足条件，矛盾，假设错误．
所以．
设
由知，必为一奇一偶，
考虑在数列中出现的先后顺序，与同理，首次出现的必为最小值或最大值，
接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共种先后顺序，
同理，在数列中出现的先后顺序共种，
先确定分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共种方法，
所以，
当时，；
当时，，
所以，
，
所以的最大值为，当时取到．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑