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2024-2025学年下学期初三创新班期末考试试卷
数 学
考试范围：必修一、必修二至第四章
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若扇形的面积为1cm2，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A. 10 B. 15 C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，则
C.
D. 若集合中只有一个元素，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减 D. 的值域为
11. 已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点
C. 当时，在区间上单调递减
D. 当时，在上的值域为
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. ．
13. 设函数在区间上的最小值和最大值分别为和，则______．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（本小题满分13分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.
（1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
16．（本小题满分15分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟.
（1）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（2）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值.
17．（本小题满分15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，，边上的中线，相交于点．
（i）求；
（ii）求．
18．（本小题满分17分）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.
（1）求实数的值；
（2）当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
（3）已知，若，当且仅当，求实数、的值.
19．（本小题满分17分）已知，存在，使得成立，且的最小值为.
（1）求的值；
（2）若函数，
(i)求函数的值域；
(ii)若函数，求的最小值.创新初三班期末考试数学参考答案
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D C B D D C B A
二 、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11
选项 BC ABD ABD
12. 13. 14. 4
7.【详解】将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数，
因为函数在上没有零点，
当时，，所以或，
解得或，当时，或，故选：B
8.【详解】因为，所以，
由余弦定理，代入上式可得，
不妨设,则由可得或（舍），所以，
在中，由可得；
由可得，
所以，即,当且仅当时，取等号.
又，所以.
同理可求，当且仅当时，取等号.
所以当L取最大值时，四边形ABCD的面积为.故选：A
11.【详解】选项A：，
，
则，所以选项A正确；
选项B：由知，时，，
由于，
但，作的图象，如图，
结合图象可知上有个交点，在上无交点，故选项B正确；
选项C：时，，
故在上单增，故C错误；
选项D：因为，所以当时，值域为；
当时，值域为；当时，值域为；
当时，值域为；当时，值域为，故D正确. 故选：ABD.
14.【详解】利用对称性由可得，
可得，即；
又；所以可得，即可得. 故答案为：4
15.【小问1详解】
平均数为
32.25;
前三组的频率和为，
第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，第80百分位数为.
【小问2详解】易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，
所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.
16.【小问1详解】设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ），依题意可得，，．
依题意，，当时，，，．
【小问2详解】令，即，，
，，或，解得或，
故或时，1号座舱与地面的距离为17米．
17.【小问1详解】由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴．∵ ∴，即．
【小问2详解】（i）∵，∴．
（ii）在中，由余弦定理得，即
（法一）由题知是的重心，∴，∴，
在中，由余弦定理得．
（法二）又，
∴．
∴．
18.【小问1详解】若选①，因为的定义域为，
则由得，，
对于任意都成立，所以；
若选②，因为的定义域为，
则由得，
，对于任意都成立，所以.
【小问2详解】若选①，当时，函数
因为在上单调递减，
且在定义域上单调递增，所以在上单调递减，
又因为在定义域上单调递减，
所以函数在上单调递减.
又因为的图象连续不间断，
且，，则，
所以在区间上有唯一的零点.
若选②，（2）当时，函数.因为在上单调递增，
在定义域上单调递增，所以在上单调递增，
又因在定义域上单调递增，所以函数上单调递增.
又因为的图象连续不间断，
且，，
所以在区间上有唯一的零点.
【小问3详解】若选①，因为，若，
当且仅当，所以在上的解集为，且.
由（1）知，
若，则，无解，舍去.
若，则，解得，
所以，则，解得，；
若选②，因为，若，当且仅当，
所以在上的解集为，且.
由（1）知，
若，则，无解，舍去.
若，则，所以，
所以，所以，则，解得，.
19.【小问1详解】，，，，
存在，使得，，，
，即，.
【小问2详解】(i)由（1）知：，
令，则（其中，），，
，，解得：，的值域为.
(ii)，
，，
由(i)知：且，
在上单调递增，，
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