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辽宁省阜新市实验中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．下列图形中，属于中心对称图形的是：（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
4．下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20 m，则AB＝( )
A．25m B．30m C．20m D．40m
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果，那么
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
7．数形结合是解决数学问题的常用思想方法；如图，已知一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤：
（1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M；
（2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线；
（3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接；
（4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．的周长等于线段的长
二、填空题
11．若分式的值为零，则的取值为 ．
12．晓英准备用20元买笔和记事本．已知每支笔3元，每个记事本2.2元，她买了2个记事本之后，最多可以买 支笔．
13．如图所示，长方形中，，平移长方形到长方形，使得与原长方形重合部分的面积是，请你写出一种可行的平移方案： （一种即可）．
14．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，，，则平行四边形的周长是 ．
15．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则 ．
三、解答题
16．解分式方程：
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将绕点C旋转，点A的对应点为，直接在图中画出旋转后的；
(2)平移，点A的对应点的坐标为，点B的对应点为，直接在图中画出平移后的；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，旋转中心的坐标为______（直接填空）．
18．（1）分解因式：
（2）下面是小强同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________；
②从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________；
任务二：请直接写出正确的化简结果．
19．如图，在中，点E是延长线上的一点，，连接交于点F．

(1)求证：；
(2)若，的度数为 　 　．
20．在中，，，点D是上一点，，点E是上一点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，延长、交于点G，求证：点C在的垂直平分线上．
21．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子进行销售．经了解，每个鲜肉粽的进价是每个蜜枣粽进价的，用2000元购进鲜肉粽的个数比用900元购进蜜枣粽的个数多50个．
(1)鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共300个（两种都有），若鲜肉粽、蜜枣粽的售价分别为14元/个、8元/个，若要使两种粽子全部售完时获得的利润不少于1000元，则该超市至少应购进鲜肉粽多少个？
22．在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”．
(1)如图，已知，，，，直线过点，
①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”；
②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围．
(2)如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围．
23．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，∠ABC＝90°，线段BD可绕点B在平面内旋转，BD＝4．
（1）若AB＝8，在线段BD旋转过程中，当点B，C，D三点在同一直线上时，直接写出CD的长．
（2）如图2，若将线段BD绕点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BE，连接AE，CE．
①当点D的位置由△ABC外的点D转到其内的点E处，且∠AEB＝135°，AE＝2时，求CE的长；
②如图3，若AB＝8，连接DE，将△BDE绕点B在平面内旋转，分别取DE，AE，AC的中点M，P，N，连接MP，PN，NM，请直接写出△MPN面积S的取值范围．

参考答案
1．B
解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：B．
2．A
解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；
故选A.
3．C
解：，
是正十边形．
故选：C．
4．D
解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，正确．
故选D．
5．D
【详解】∵∠A=60°，∠C=90°，
∴∠B=30°，
又∵AC=20m，
∴AB=20×2=40m，
故选D.
6．D
解：A、原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，存在相等的角并非对顶角的情况，故逆命题为假命题，不符合题意；
B、原命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，面积相等但形状不同的三角形不全等，故逆命题为假命题，不符合题意；
C、原命题“若，则”的逆命题为“若，则”，存在使得，故逆命题为假命题，不符合题意；
D、原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，逆命题为真命题，符合题意；
故选：D．
7．C
解：∵，
∴，
根据图象可得：不等式的解集为，
即的解集为．
故选：C．
8．B
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：B．
9．B
解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意：
，
故选：B．
10．C
解：由步骤（1）（2）可得，
由步骤（3）可得，
由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则，
∴的周长，
由作图步骤无法判断，
结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意；
故选：C．
11．
解：∵分式的值为零，
∴，
∴．
故答案为：．
12．5
解：设小颖买x支笔，根据题意得，
解得，
x取最大整数解为5，即最多可以买5支笔．
故答案为：5．
13．将长方形沿着边向右平移个单位（答案不唯一）
解：与原长方形重合部分的面积是12，，，
一种可行的平移方案是：
将长方形沿着边向右平移6个单位，得到长方形．
故答案为：将长方形沿着边向右平移个单位（答案不唯一）．
14．26
解：∵平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长．
故答案为：26．
15．或或
解：分类讨论：（1）如图，当点E在上时，过点C作，
∵由平移得到，
∴．
∵，
∴．
①当时，
∴设，则，
∴，．
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴设，则，
∴，．
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）当点E在外时，过点C作，
∵由平移得到，
∴．
∵，
∴.　
①当时，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，由图可知，，故不存在这种情况，
故答案为：或或．
16．
解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当，，
∴是原分式方程的解．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：∵，平移，点A的对应点的坐标为，
∴的平移方式为向右4个单位长度，再向下4个单位长度，
如图所示，即为所求：
（3）解：由坐标系可得，，，，，
∴的中点坐标为，的中点坐标为，
∴的垂直平分线与的垂直平分线交于点，
∵将绕某一点旋转可以得到，
∴旋转中心的坐标为．
故答案为：．
18．（1）；（2）任务一：①二；分式的基本性质；②三；通分过程中把分母丢掉了；任务二：
解：（1）
；
（2）任务一：
①以上化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：二；分式的基本性质；
②从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是通分过程中把分母丢掉了；
故答案为：三；通分过程中把分母丢掉了；
任务二：
．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上．
21．(1)鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是10元和6元
(2)该超市至少应购进鲜肉粽200个
（1）解：设蜜枣粽每个的进价是x元，每个鲜肉粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：鲜肉粽、蜜枣粽每个的进价分别是10元和6元．
（2）解：设该超市应购进鲜肉粽a个，
则，
解得：，
答：该超市至少应购进鲜肉粽200个．
22．(1)）①；②
(2)，
（1）解：①∵直线过点，
∴直线为，
∵，，
∴线段为的一部分，且，
∵直线为，，，
∴，，关于直线的对称点分别为，，
∴在线段上，，都不在线段上，
∴线段是点关于直线的“对称形”；
故答案为：；
②由①直线为，
∵，
∴关于直线的对称点为，
∵四边形是点关于直线的“对称形”，
∴在四边形上，
∵，，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵直线过点，
∴直线为，
∵，
∴关于直线的对称点为，
∵四边形是点关于直线的“对称形”，，
∴在四边形上，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴和的取值范围为：，．
23．（1）CD的长为4或12；（2）①2；②2≤S≤18．
解：（1）当点D在CB的延长线上时，CD＝4+8＝12，
当点D在线段BC上时，CD＝8﹣4＝4，
故CD的长为4或12．
（2）①如图2中，连接AD，DE．

∵BD＝BE＝4，∠DBE＝90°，
∴，∠DEB＝45°，
∵∠AEB＝135°，
∴∠AED＝90°，
∵，
∴
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠EBC，
∵BD＝BE，BA＝BC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴．
②如图3中，连接AD，延长CE交AB于O，交AD于J．

∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠EBC，
∵BD＝BE，BA＝BC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴EC＝AD，∠DAB＝∠ECB，
∵∠BOC+∠BCE＝90°，∠AOJ＝∠BOC，
∴∠AOJ+∠DAB＝90°，
∴∠AJC＝90°，
∴CJ⊥AD，
∵AP＝EP，EM＝MD，
∴PM∥AD，，
同法可得，PN∥EC，，
∴PM＝PN，PM⊥JC，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴
∵4≤AD≤12，
∴2≤S△PMN≤18．

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