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2024-2025学年第二学期质量监测（二）
八年级数学试卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1.下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．右图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（ ）
A．三角形内角和定理 B.勾股定理
C.三角形全等 D.轴对称图形
4.在中，的对边分别为，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
5.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，小陇注意到游乐场中的跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若cm，则点距离地面的高度为（ ）
A．80cm B.70cm C.60cm D.50cm
7.一块边长为的正方形桌布，平铺在直径为的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（ ）
A. B. C. D.
8.中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得cm，cm，于点，则的长为（ ）
A.8 B.9 C.9.6 D.10
9.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（）点的坐标是（），点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A.（） B.（） C.（） D.（）
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝16，AB＝20，当DE长度最小时，△BDE的面积是（ ）
A．6 B. C. D.24
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11.化简：________．
12.裕固族工匠用银片制作饰品，其中有一个长方形银片的面积为，长为，则该长方形银片的宽为________cm．
13.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，则点E的坐标为________．
14.学习了“勾股定理”之后，小甘同学为了计算如图所示的风筝高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为12，BD⊥CE；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15；③若小甘同学想使风筝沿CD方向下降4，则他应该往回收线________．
15.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，连接OA，OB，其中OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E，F分别在AD，BC上，则图中阴影部分的面积为________．
16.如图为甘肃某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500，小陇行走的路线为B→A→G→E，小甘行走的路线为B→A→D→E→F．若小陇行走的路程为3100，则小甘行走的路程为________．
三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（每小题4分，共8分）计算：
（1）；
（2）．
18.（本题8分）已知，求：
（1）xy的值；
（2）的值．
19.（本题6分）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F．求证：OE＝OF．
20.（本题7分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t秒．经过实验，发现（不考虑阻力的影响）．求：
（1）物体从40的高空落到地面的时间；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）＝10×物体质量（kg）×高度（），一串质量为0.2 kg的钥匙经过3落在地上，这串钥匙下落到地面时所带能量有多大？
21.（本题8分）如图，将面积为8的正方形ABCD和面积为2的正方形CEFG拼在一起，点E在BC边的延长线上，点G在CD边上，连接BD，BF，DF．求△BDF的面积．
22.（本题9分）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b（）．我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”为__________时，菱形就是正方形；
（2）当∠BAD＝60°时，求菱形ABCD的“神似度”．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23.（本题8分）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为250，现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120，BM的长为150．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试判断AC与BM的位置关系，并说明理由．
24.（本题9分）在中，对角线AC与BD相交于点O，过点O分别作AB和BC的垂线，垂足分别为H，M．
（1）如图1，当时，求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当时，若，求的值．
图1 图2
25.（本题10分）【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
（1）仿照上面的解题过程，化简：＝________；
（2）计算：（）×（）；
（3）已知，，求的值．
26.（本题10分）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图1，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图3是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到相对的点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯的高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
27.（本题13分）【课本内容】
如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
【尝试应用】
学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，请你根据这个提示写出证明“△ADC≌△EDB”的推理过程，并求出AD的取值范围．
反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
如图3，已知AD是△ABC中BC边上的中线，F是AB上的一点，CF交AD于点E，AB＝CE，求证：FA＝FE；
【拓展提升】
如图4，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D在边BC上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．请直接写出CD，CE，CF之间的数量关系．
GS2024－2025学年第二学期质量监测（二）
八年级数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1－5 A C B A B 6－10 B D C B C
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11、 12、 13、 14、2 15、12 16、4600
三、解答题：本大题共6小题，共46分．
17、解：（1）原式＝
＝
＝；……4分
（2）原式＝
＝．……8分
18、解：（1）∵，
∴；……3分
（2）∵，
∴，．……6分
∴……8分
19、证明：∵四边形是平行四边形，
∴．……2分
在和中，，
∴，……5分
∴．……6分
20、解：（1）将代入得：，
∴物体从40的高空落到地面的时间为；……3分
（2）将代入得：，
解得：．……5分
∵，．……6分
∴这串钥匙下落到地面时所带能量有90……7分
21、解：∵面积为8的正方形ABCD和面积为2的正方形CEFG，
∴，
∴．……3分
∵，
，
，……6分
∴．……8分
22、解：（1）1……2分
（2）如图，连接AC和BD，交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，
．
∴，……5分
∴，
∴，……7分
∴，即菱形ABCD的“神似度”为．……9分
四、解答题：本大题共5小题，共50分．
23、解：（1）∵，∴，
∵MN的长为120，BM的长为150，
∴，……1分
∴，∴，……3分
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200；……4分
（2），理由如下：……5分
∵AM＝200，AB＝250，BM＝150，
∴，
∴，……7分
∴．……8分
24、（1）证明：∵，
∴平分，∴．……1分
∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
∴，∴，……3分
∴平行四边形是菱形；……4分
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，∴，……5分
∴是等边三角形，
∴，
∵，∴，
∵，∴四边形是矩形，……6分
∴，
∴，……8分
∴．……9分
25、解：（1）；……2分
（2）原式
……6分
（3）∵，
，
∴，
∴．……10分
26、解：（1）25 ……2分
（2）17cm……4分
（3）示意图如图所示．
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，
作交延长线于点，连接交于点，……6分
∴，，
∴，………………7分
∵，，
∴，…………9分
∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．……10分
27、【尝试应用】
解：延长到，使，连接，
∵是中边上的中线，∴．…………1分
在和中，，
∴，…………3分
∴，
∴，
∴，
∴．………………5分
【问题处理】
证明：如图，延长到，使，连接，，
∵是中边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，…………7分
∵，
∴，
∴，………………8分
∵，，
∴，………………9分
∴；………………10分
【拓展提升】
．…………13分

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