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山西省临汾市侯马市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．一元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
2．春节期间，人工智能温情相伴，下列软件图标是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．优质的教育资源是社会民生问题，在侯马市委、市政府的关心和支持下，侯马市新二中建设如火如荼，预计今年9月份完工并投入使用，如图是建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形具有稳定性
4．嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了表取和钻取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设表取样品克，钻取样品克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则（ ）
A． B． C． D．
6．年月日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁．轩轩有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭身长约米，若起飞过程中约为米，则的长约是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　）
A．4 B．5 C．4或5 D．6
8．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．若是的三边，试化简（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．写出的一组整数解 ．
12．某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为 °．
13．如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ．
14．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌192米处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有5分钟到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 米/秒．
15．如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE=4，EC=2，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则FC的长为 ．
三、解答题
16．解下列方程（组）：
(1)；
(2)
17．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
18．如图，将放在每个小正方形的边长为2的的正方形网格中．
(1)画出以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的．
(2)画出关于点成中心对称的；
(3)的面积是_______．
19．如图，已知于点，点在上，交于点F，．
(1)若，，求的长．
(2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
20．阅读与思考
下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务． 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程与不等式进行变形和化简，以便找到解和解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的代数推理过程： 我利用不等式的基本性质证明如下： 例：（1）已知，试比较与的大小． 解： （依据一） （依据二） （2）已知，试比较与的大小． 解： ① 又 ② 由①②可得： ......
任务：
(1)上面阅读中的“依据一”指的是：________．“依据二”指的是：________．
(2)已知都是负数，且，请类比阅读材料中（2）的证明方法，比较与的大小．
21．“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高．我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．
(1)为美化环境，某公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为10000元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数．
(2)若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有9000元，所需购买两种鲜花的总数仍为200盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？
22．综合与探究
【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线．
【应用】
（1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案）
（2）写出与之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
23．综合与实践
在中，于点．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线交于点，则的度数为_________；
操作发现：
如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线，与直线交于点，与直线交于点．若，请直接写出旋转角的度数．
参考答案
1．C
解：，
∴，
故选：C
2．B
解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
3．D
解：建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
故选：D．
4．C
解：设表取样品克，钻取样品克，
∵表取和钻取的总质量为1935克，
∴；
∵表取是钻取的4倍还多310克，即表取量等于钻取量的4倍加上310克，
∴，即，
∴
故选：C．
5．B
解：∵，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴；
故选：B．
6．D
解：根据平移的性质可得（米），
∵约为米，
∴（米），
∴（米）．
故选：D．
7．B
解：解方程组得：，
因此，等腰三角形的两边长为2和1．
若腰长为2，底边为1，则三边为2、2、1．
验证三角形三边关系：，，均成立．此时周长为．
若腰长为1，底边为2，则三边为1、1、2．
验证三角形三边关系：，不满足两边之和大于第三边，故不成立．
综上所述，周长为5，
故选：B．
8．A
解：由题意可知，，，，
，
，
，
，
故选：A．
9．A
解：∵是的三边，
∴，
即
∴
．
故选：A．
10．B
解：如图，设与交于点，

由折叠的性质可得：，
由三角形外角的性质可得：，
，
故选：B．
11．（答案不唯一）
解：方程的一个整数解为：（答案不唯一）．
故答案为：．
12．
正五边形内角和为，
正五边形每个内角是，
∴．
故答案为．
13．
解：由平移的性质可得，， ，
∴，
∵，
∴，
即．
∴
即平移的距离为：
故答案为：．
14．
解：设小明的平均速度为米/秒
依题意，得，
解得，
即小明的最小平均速度为米/秒．
故答案为：
15．2或10．
①当线段AD顺时针旋转得到F1点，
在△ADE和△ABF1中，AE=AF1,∠D=∠ABC，AD=AB,，
∴△ADE≌△ABF1，
∴DE=BF1=4，
∴EC=F1C=2；
②逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B=DE=4，
F2C=F2B+BC=10，
考点：旋转的性质；正方形的性质．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
②，得③，
③①，得，
代入①，得，
即该方程组的解为．
17．，数轴表示见解析
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，原不等式组的解集为：．
在数轴上，表示如下：
18．(1)图见解析
(2)见解析
(3)14
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）的面积．
19．(1)
(2)，，理由见解析
（1）解：，
，，
，，
，
；
（2）解：，且，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，且．
20．(1)不等式的基本性质3；不等式的基本性质1
(2)
（1）解：依题意，依据一：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）．
依据二：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
（2）解：依题意，∵，，
∴
又∵，，
∴
由①②可得：
21．(1)购买“延丹号”山丹丹140盆，购买“太空玫瑰”60盆
(2)45盆
（1）解：设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆，
由题意，得，．
解得，
答：购买“延丹号”山丹丹140盆，购买“太空玫瑰”60盆；
（2）解：设购买“太空玫瑰”盆，
由题意，得，
解得，
因为为正整数，所以的最大值为45，
答：最多可购买“太空玫瑰”45盆．
22．（1），；（2），证明见解析；（3）或
解：（1）∵分别是和的平分线，，，
∴，
∴．
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）；理由如下：
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴
；
（3）．
如图，延长，交于点E，由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即．
23．（1）
（2）与之间的数量关系为，理由见解析；
（3）旋转角的度数为或．
（1）解：∵于点，
∴，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，
理由：由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：与之间的数量关系为．
（3）解：当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
由折叠和旋转的性质可得，，
∴，
∴，
答：旋转角的度数为或．

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