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江西省萍乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．不变
4．下列各式中，从左到右因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
7．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．因式分解： ．
12．用边长相同的正六边形和正三角形进行平面图形的组合镶嵌（镶嵌是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片），则需要2个正三角形和 个正六边形才能在同一个顶点处进行镶嵌．
13．将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是 ．
14．为抢修一段长120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，则方程可列为 ．
15．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．
16．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了 米．
17．不等式的负整数解的个数为 个．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为 时，△A1CD是等腰三角形．
三、解答题
19．（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，作∠BAC的平分线AM；
(2)在图2中，作AC的中点F．
22．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
23．在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以3：1的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
24．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的周长．
25．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：；
②求代数式的最小值：
，
∵是非负数，即，
∴，则代数式的最小值是．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：__________；
(2)求的最小值；
(3)若，求的最小值．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
江西省萍乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A A C B D D
1．B
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．B
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，，，，
故选B；
3．C
【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，
则原式可变为：，
故分式的值缩小为原来的．
故选：C．
4．D
【详解】解：A、，故原式分解因式错误，不合题意；
B、故原式分解因式错误，不合题意；
C、，不是因式分解，不合题意；
D．，正确．
故选：D．
5．A
【详解】解：设，
∵，
∴．
∵的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴．
∴，即，
解得：，
∴．
故选：A．
6．A
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，
根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故选：A．
7．C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
，
∵，
，
，
故选：C．
8．B
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
则根据图象可得不等式的解集是，
故选：B．
9．D
【详解】解：，
去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，
解得，
故选：D．
10．D
【详解】如图，连接CD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，AB=8，
∴AD=DB=CD=4，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，AC=BC=，
∵∠NDM=90°，
∴∠NDC=∠BDM，
∴△DEC≌△DFB，
∴CE=BF，DE=DF；故③正确，
∴AE=CF，故①正确
∴EC+CF=AC=，故②正确，
S△ECF=，
∵面积是个定值，
∴CF不变，则CE不变，由直角三角形勾股定理的EF不变，故④正确，
综上所述：正确的结论为①②③④，
故选：D．
11．x（y-1）2
【详解】解：xy2-2xy+x
=x（y2-2y+1）
=x（y-1）2，
故答案为：x（y-1）2．
12．2
【详解】解：∵正三角形是等边三角形，
∴，
则正六边形的每个内角是，
∴，
故需要2个正三角形和2个正六边形才能在同一个顶点处进行镶嵌，
故答案为：2．
13．（0，-2）
【详解】解：∵将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，
∴点Q的坐标为（m+2-3，2m-3-1）即（m-1，2m-4），
∵点Q在y轴上，
∴m-1=0，
∴m=1，
∴2m-4=-2，
∴点Q的坐标为（0，-2），
故答案为：（0，-2）．
14．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
15．25
【详解】解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
在△ABN和△AEN中，
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE=AB=6，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×1.5=3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，
故答案为：25．
16．
【详解】解：∵小明从O点开始，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，
∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，
设多边形的边数为n，则正多边形边数为，
∴行走距离=正多边形的边数正多边形边长（米），
故答案为：．
17．4
【详解】解：
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∴，
∴原不等式的负整数解有，共4个，
故答案为：4．
18．6或5或
【详解】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；
②当CD＝A1D时，如图所示，
∴
∵，
∴∠B1＝∠B1CD，
∴B1D＝CD．
∵CD＝A1D，
∴CD＝A1B1
由题意可知，
∴CD＝5时，三角形是等腰三角形；
③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．
∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10CE，
∴CE＝．
在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝，
∴DE＝6﹣＝．
在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．
故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．
故答案为：6或5或．
19．（1），见详解（2）
【详解】解：（1）
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴原不等式组的解集为；
（2），
原分式方程可化为：，
∴，
则，
∴，
则，
∴，
检验：把代入，
∴原分式方程解为．
20．，
【详解】解：原式
，
当时，原式．
21．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，
延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示：
（2）解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点．
22．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴由（1）得，
∴，
∵由（1）得，
∴，
∴，
∴；
23．（1）该商家第一次购进机器人100个；（2）每个机器人的标价至少是140元．
解（1）设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：a﹣11000﹣24000≥×20%，
解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
25．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：，
∵是非负数，即，
∴，
∴代数式的最小值是；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵是非负数，即，
∴，
∴的最小值为．
26．(1)见解析
(2)9
(3)存在，
【详解】（1）证明：∵，D是的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵点，，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵C，D分别是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平行四边形对角线的交点坐标为．

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