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兰州市第二十二中学2024-2025学年度
九年级数学第二学期期中试卷
本卷满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（共11小题，每小题3分，计33分）
1. 窗花是一种民间艺术，是贴在窗户上的剪纸．下列四个窗花作品是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于的二元一次方程组（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
10. 反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
12. 截至3月26日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，150亿用科学记数法表示为______．
13. 已知一组正整数，，，，有唯一众数，中位数是，则这一组数据的平均数为______．
14. 观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是__________．
15. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则___________．
三、解答题（共11小题，共75分）
16. 计算：．
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 解不等式组：
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式．
（2）连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积．
20. 投壶（如图1）是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图2是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为时，箭头行进至最高点处．
（1）求箭头行进的高度与水平距离之间的函数表达式；
（2）若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于轴的线段），且，通过计算判断这名男生此次投壶能否投中，请说明理由．
21. 某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单．
课题 测量校园内一棵大树的高度
测量工具 测角仪、皮尺
测量图例
测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为．
测量数据 标杆米，标杆的影长为米，米，米，仰角
说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，）
（1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到米）
22. 为进一步弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，某校组织了“爱心捐款活动”，活动结束后，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额进行统计，并用得到的数据绘制了如下统计图（不完整）．
请根据相关信息，解答下列问题，
（1）所抽取学生的人数为_________；在扇形统计图中，捐款金额为40元所对的扇形的圆心角的度数为_________，并补全条形统计图；
（2）所抽取学生的捐款金额的中位数是_________元，并求出所抽取学生的平均捐款金额；
（3）若该校共有1200名学生参与捐款，请你估计该校学生捐款金额不少于30元的人数．
23. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣1，2）．
（1）把△ABC向下平移8个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1坐标．
（2）以原点O为对称中心，画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
24. 如图，是外接圆，为直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
25. 阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即．
（1）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标；
（2）已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标；
（3）已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标；
（4）如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ．
26. 综合与实践
【问题背景】有两个三角形，一个是直角三角形，一个是等边三角形．，，；等边，两个三角形的点互相重合，可以绕点转动，点是的中点，连接．
【解决问题】（1）如图，当时，若点在线段上，，，则__________．
【观察猜想】（2）如图，直接写出与的数量关系：__________．
【类比探究】（3）如图，当，点在线段上方时，其他条件不变，延长交于点，探究的度数是否为定值？若是定值，请求出的度数；若不能求出的度数，请说明理由．
【拓展提升】（4）若，，当点，，在同一条直线上时，请直接写出线段的长．
参考答案
1-11：DCCDA DBBDC B
12、
13、5
14、2
16、解：
．
17、解：
∵，
∴原式．
18、解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
19、（1）解：代入到，得，
代入到，得，
，，
设直线的函数表达式为，
代入，得，，
解得：，
直线的函数表达式为．
（2）解：过点作轴交于点，
设直线的函数表达式为，
代入得，，
解得：，
直线的函数表达式为，
令，则，
，
，
反比例函数图象关于原点对称，
点与点关于原点对称，
，
，
的面积为15．
20、 （1）解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为．
设y与x之间的函数表达式为，
将点代入，得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为．
（2）解：这名男生此次投壶不能投中．
理由：当时，，
∵，
∴这名男生此次投壶不能投中．
21、（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，延长交于点，
由，，，可得，米，
由（）可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴（米），（米），
在中，，
解得：，
∴这棵大树的高度（米），
答：这棵大树的高度约为米．
22、 （1）解：所抽查学生总人数为（人），捐款金额为10元的人数为
（人），
，
故答案为：40，；
（2）解：由统计图可知，所抽查学生捐款金额中位数为20元．
（元），
答：所抽查学生捐款的平均金额为23元．
（3）解：，（人），
答：该校学生捐款不少于30元的人数为420人．
23、（1）解：△A1B1C1如图所示，A1（﹣5，﹣6）；
（2）解：△A2B2C2如图所示，B2（1，6）．
24、（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
25、（1）解：∵点的“级牵挂点”为，
∴，，
即；
（2）解：∵点Q的“4级牵挂点”为，
设点Q的坐标为，则，
，
解得，
∴点Q的坐标为；
（3）解：∵点的“2级牵挂点”为，
∴，，
即，
∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为；
（4）解：∵点的“2级牵挂点” 为，
∴，，
即，
∵点在第二象限 ，
∴，
解得，
∴c的最大整数为，
∴，如图：
∴．
故答案：．
26、 解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
故答案为：；
（）如图，取中点，取中点，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，是定值，，理由，
取中点，取中点，设与交于点，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（）当共线时，如图，作于点，
则，则，
∴，
∴，
∴；
当共线时， 如下图，
同理可得：，
综上，或．

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