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湖北省咸宁市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（ ）
A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．某小组6名学生的中考体育分数（单位：分）如下：33，36，36，38，39，40，则该组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．40，33 B．36，38 C．36，37 D．36，39
7．如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若，，则的周长为( )

A．4 B． C．6 D．
9．如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．写一个二次根式，使它与是同类二次根式： ．
12．将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
13．某公司招聘一名英文翻译，某应聘者的听、说、读、写成绩分别为73分、80分、82分、83分．最后成绩中，听、说、读、写成绩按照的比确定，那么该应聘者最后的成绩为 分．
14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为 ．
15．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形．
18．如图，在中，点E，F在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若增加一个条件，可使四边形是菱形，则该条件可以是________．
19．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
型号 14和16 15
型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中_____，_____；
(2)请计算表中的值，（需要写出计算过程）
(3)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出的面积．
21．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
(1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
(2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
22．根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如下示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中的长度为_______，滑动轨道的长度是_______．
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）
23．在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______．
(2)点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为2，直接写出周长的最小值为______．
24．如图，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段、线段上一动点（点C与点A不重合），且．
(1)求点A，B坐标和度数；
(2)设的长度为，
①用含m的代数式表示的长度；
②过点D作，垂足为点E如图2，当时，求m的取值范围．
参考答案
1．D
解：选项A：，当时是二次根式，但可能为负数，此时无意义，故不一定是二次根式．
选项B：是立方根，不符合题意
选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式．
选项D：，绝对值恒成立，无论取何值，被开方数均非负，故一定是二次根式．
故选D．
2．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．A
解：由作法可知，
则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形，
故选：A．
4．C
解：A. 不能合并，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原计算错误；
故选：C．
5．A
解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
6．C
解：数据中出现次数最多的数是36（出现2次），因此众数为36；
将数据从小到大排列为33，36，36，38，39，40，
共有6个数据，中位数为第3、4个数的平均值，即，
综上，众数为36，中位数为37，
故选：C．
7．C
∵矩形的对角线、交于点，
∴
∴
∵点、分别为、的中点
∴是的中位线
∴．
故选：C．
8．C
解：四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
，，又，
是等边三角形，
，
的周长，
故选：C．
9．C
解：在铁块接触水面前，，
∴此过程中弹簧测力计的读数不变，
∵，
∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小，
当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变，
∴符合题意是选项，
故选：C．
10．D
解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确；
由于，，所以函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；
一次函数与的图象的交点的横坐标为，
，
，
，故③正确；
当时，，，
由图象可知，
，
，故④正确；
综上，①②③④正确，
故选：D．
11．（答案不唯一）
解：与是同类二次根式的可以是，
故答案为：．
12．
解：直线向下平移2个单位长度后直线的解析式为，
故答案为：．
13．80.4
解：，
应聘者最后的成绩为分，
故答案为：80.4．
14．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同，
∴顶点B，C的坐标分别为，，
∴点C到点B的平移方式是向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，
故答案为：
15．
解：∵正方形纸片，，
∴，，
由折叠的性质知，，
设，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
∴，
解得，即，
∴的面积是，
故答案为：．
16．
解：原式
.
17．见解析
证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
18．(1)见解析
(2)（答案不唯一）
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
∴四边形是平行四边形；
（2）添加条件：，理由如下：
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
19．(1)20，15
(2)1.4
(3)购买B型机器人，见解析
（1）解：B型号的智能机器人每天可分拣20万件的有5台，数量最多，
所以众数；
A型号机器人分拣的快递件数从小到大排列后，最中间的两个数据是15，15，
所以中位数；
故答案为：20，15；
（2）；
（3）因为从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人，
所以应该购买B型机器人．
20．(1)
(2)3
（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴此一次函数的解析式为；
（2）解：解方程组，
得，
∴点C的坐标是，
∴的面积．
21．(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元
(2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元
（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，
根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
22．【任务1】8，41；【任务2】限位器P应装在离A点的位置
解：【任务1】∵四边形始终为平行四边形，
∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上，
，
故答案为：8，41；
【任务2】
解：过点C作交于点H，
依题意得，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，，
∴．
又∵，，
∴根据勾股定理可得．
∴
∴．
∴限位器P应装在离A点的位置．
23．(1)，
(2)①成立，理由见解析；②的周长的最小值是
（1）解：如图1，取的中点P，连接．
则，
∵点E是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①成立，理由如下：
如图2，在上取一点P，使，连接，
则，
由（1）得：，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，过D作交于点H，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，
∴，
∴，
当A、F、H三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
此时周长的最小值；
故答案为：．
24．(1)点A的坐标为，点的坐标为，
(2)①；②当时m的取值范围为
（1）解：当时，，
，点A的坐标为，
当时，，
解得：，
，
点的坐标为，
在中，，
，
，
如图，取的中点，连接，
，
是等边三角形，
；
（2）解：①在图中，
，，
，
，，
为等边三角形 ，
；
②，
，
在中，，，
，
，
，
当时，即 ，
解得：，
又，
，
∴当时，m的取值范围为：．

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