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广东省东莞市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．对的描述不正确的是（ ）
A．是一个负数 B．是一个实数 C．是一个无理数 D．是一个有理数
4．为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的（ ）
A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一片叶子标本放在平面直角坐标系下，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
8．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．8的立方根是 ．
12．已知，则 ．（填写“>”或“<”）
13．如图，烧杯内液体表面与烧标下底都平行，光线从液体中射向空气时发生折射，已知，则的度数为 ．
14．已知x，y满足方程组，则xy的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿轴正方向滚动一周，圆上一点由原点到达点，圆心也从点到达点．点的坐标为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，箭头图形的顶点分别在格点（网格线的交点）上．
(1)请在网格图中画出该箭头图形向右平移8个单位长度后的图形，点，点，点的对应点分别为；
(2)线段与的位置关系是__________，线段的长度是__________．
18．解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都落在格点上，各顶点的坐标分别为：，完成下列问题．
(1)在图中描出A，B，C三点；
(2)顺次连接A，B，C三点构成，求的面积．
20．解方程组．
21．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程．
(1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长．
解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得___________________．
答：该大正方形的边长是_________________．
(2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长．
22．为了加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个，已知1个水基灭火器和1个干粉灭火器共270元，2个水基灭火器和3个干粉灭火器共660元．
(1)求这种型号的水基灭火器和干粉灭火器的单价；
(2)若学校购买这两种灭火器的总价不超过6300元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
23．如图，点是内的一点，已知，垂足分别为点，点．连接，点是上的一点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
24．某中学食堂对新研发点心的咸度偏好展开调查，形成了如下表所示的调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校学生对该款点心咸度的接受程度； 2．为学校优化点心配方提供科学依据．
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分学生
调查内容 请根据你的品尝体验，对该款点心的咸度评分（单选）： A．太咸 B．稍咸 C．适中 D．稍淡 E．太淡
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查被抽查学生共有________人，认为“稍咸”的学生有________人，认为为“太淡”所在扇形的圆心角的大小是________度；
(2)若食堂计划为全校1200名学生供应这款点心，预计有多少名学生认为咸度为“适中”？
25．探究与应用：二元一次方程的为“图象”
【知识结构】
我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现．
【操作提炼】
（1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来．
… -2 0 …
… 0 1 2 …
（2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形．
（3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）．
【拓展应用】
（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解．
（5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程．
26．【问题背景】
如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且．
（1）求证：平分；
【拓展迁移】
（2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设．
（1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；
（2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
参考答案
1．B
解：在平面直角坐标系中，点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
点在第二象限，故B正确．
故选：B．
2．B
解：对于选项A，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项A不符合题意；
对于选项B，图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项B符合题意；
对于选项C，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项C不符合题意；
对于选项D，图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项D不符合题意．
故选：B．
3．D
解：选项A：负数是指小于0的数，故为负数，正确；
选项B：实数包括有理数和无理数，为无理数，属于实数，正确；
选项C：无理数是不能表示为分数形式的数，为无理数，正确；
选项D：有理数可表示为整数或分数，是无理数，故D错误；
故选：D．
4．B
解：为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，则在该调查中，40是样本容量；
故选：B．
5．C
解：，
移项得：，
化简得：，
故选：C．
6．D
解：∵表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标是，
故选：．
7．B
解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
8．C
解：根据两直线平行，同位角相等，可得，
∵三角板的顶角是直角，
∴，
∴，故与不一定相等；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，
∵与不一定相等
∴与不一定相等；
∵，
∴不一定等于；
观察四个选项，选项C符合题意．
故选：C．
9．A
解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
观察只有A选项的图形符合题意 ，
故选：A．
10．B
解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1，
∴正方形和正方形的边长分别为，1，
∴，
∴
，
故选：B．
11．2
解：，
8的立方根是2．
故答案为：2．
12．>
解：∵，
∴，
故答案为：>．
13．
解：∵，
，
故答案为：．
14．2
解：
将①代入②，可得：，
解得：，
将代入①，可得：；
当，时，
；
故答案为：2
15．
由图可知：，
根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为，
根据沿横轴向右滚动一周，则向右运动的距离为：，
即此时圆心的向右运动的距离为：，
∴，
故答案为：．
16．
解：原式
．
17．(1)见解析
(2)，9
（1）解：平移后的图形如图所示：
（2）根据平行的性质可得，，
故答案为：，9．
18．，见解析
解：
由①得：，
由②得：，
该不等式组的解集是，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
19．(1)见解析
(2)见解析，
（1）如图所示；
（2）如图所示，
，
的面积是．
20．
解：
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
21．(1)
(2)该大正方形的边长是
（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得．
答：该大正方形的边长是
故答案为：．
（2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则
由边长的实际意义，得
答：该大正方形的边长是．
22．(1)这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
(2)最多可购买这种型号的水基灭火器10个
（1）解：设这种型号的水基灭火器的单价为元，干粉灭火器的单价为元．
根据题意可得方程组：
解方程组得：
答：这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
（2）设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意，可得：，
解不等式，得，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个
23．(1)
(2)见解析
（1）解： ，
，
，
，
的度数为
（2）由（1）得：，
又，
，
．
24．(1)，，
(2)认为咸度“适中”的学生约有人
（1）解：由题意，∵太咸的4人，占，
∴本次调查被抽查学生共有（人）．
∴认为“稍咸”的学生有：（人），认为“太淡”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：；；．
（2）由题意，可得学生认为咸度“适中”的人数为：（人）．
答：预计有名学生认为咸度“适中”．
25．（1）见解析；（2）2a；（3）直线；（4）见解析，；（5）
解：（1）符合方程的解的每对x，y的值如下表所示；
… -2 0 1 …
… -4 -1 0 1 2 …
以这些解为坐标的点的位置如图1所示；
（2）2a；
（3）直线；
（4）两个方程的图象如图2所示，
该方程组的解是
（5）
（答案不唯一，除外写一个关于x，y且一组解是的二元一次方程即可．）
26．（1）见解析；（2）①；②或．
（1）证明：如图1，，
，
又，
，
平分；
（2）①如图2，平分，
，
又平分，
，
又，
又∵，
，
，
又，
，
又，
即，
，
当时，；
②或，
当点在点的左侧时，由①知：；
当点在点的右侧时，如图3，
，
又，
，
平分，
，
又平分，
，
又
．
综上所述，和之间的数量关系或．

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