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河南省平顶山市2024---2025学年下学期八年级数学期末试题卷
一、单选题
1．若分式无意义，则的值为（ ）
A．0 B． C．-1 D．
2．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列代数式变形，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．如图，的对角线，相交于点，点是的中点，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．若是一个完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
7．小明板书解方程的过程如下：方程两边都乘以，得，解这个方程，得．所以原方程的根为．同学们都认为小明的解法不对，他错误的原因是（ ）
A．去分母时，常数项没有乘以公分母 B．去括号移项时，没有变号
C．求出整式方程的根没有检验 D．解整式方程得到的根不正确
8．如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（ ）
A．10米 B．米 C．15米 D．米
9．如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点为平面直角坐标系的原点，等边的顶点在轴上，且点的坐标为．将绕点O以60度／秒的速度顺时针旋转，第2025秒时点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要 天完成．
13．已知，则
14．如图，在中，，点是延长线上一点，的平分线交于点，平分，若，则 ．
15．如图，已知，点是射线上一动点，连接，作的垂直平分线，与射线交于点设，当时，线段的最大值为 ，最小值为 ．
三、解答题
16．（1）解不等式组：
（2）求证：当为自然数时，能被24整除．
17．先化简，再求值：，其中值取中的一个数．
18．已知：如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)设与的延长线相交于点，若，直接写出点到的距离为___________．
19．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．
(1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________；
(2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形．
①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________；
②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解．
20．兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，弟弟所跑的路程为．
(1)直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)根据图象回答下列问题：
①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟；
②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________；
③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”)
21．如图1，点为的边的中点，连接并延长到点，使得，延长到点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，在图1的基础上，当为等腰直角三角形，，且时，求四边形的面积．
22．某商店甲品牌每盒方便面的标价是乙品牌每盒方便面标价的倍，已知用40元购买甲品牌方便面的盒数比用40元购买乙品牌方便面的盒数少3盒．
(1)求甲、乙两种品牌方便面每盒的标价；
(2)小明准备购买这两种方便面共15盒，设需要总费用元，其中购买甲品牌方便面盒．
①写出与之间的函数关系式；
②若购买两种品牌方便面的总费用不超过100元，则小明最多可以购买多少盒甲品牌方便面？
23．(1)已知四边形是正方形，点是射线上一动点，点在射线上，，连接．
①观察猜想：如图1，当点与点重合时，易得与的数量关系为___________，___________°．
②探究证明：当点不与，两点重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立请仅就图的情况进行证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，且．点为射线上一动点．将线段绕点逆时针旋转到，过点作，垂足为．当，时，直接写出线段的长．
参考答案
1．B
解：分式无意义时，分母，
解方程，移项可得，
两边同时除以，得 ．
故选： ．
2．C
A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意，
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意，
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
3．D
解：选项A：，分子分母同乘，但若，变形后的分式无意义，而原分式在时仍有意义（仅需），此变形改变了分式的定义域，故错误．
选项B：，左边为，应分解为，右边展开为，结果为，与左边符号相反，故错误．
选项C：，左边为，需通分得，显然不等于（除非），故错误．
选项D：，左边整理为，提取负号得，因，故左边等于，与右边一致，正确．
故选：D．
4．A
解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正边形的一个外角为，
∴的值为；
故选A
5．A
解：取的中点，连，取的中点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵点是的中点，是的中点
∴，，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
故选：．
6．D
解：∵是一个完全平方式，
，
故选：D．
7．C
解：，
方程两边都乘以，得，此步骤正确．
去括号得，
移项得，
解得，此步骤正确．
检验根：当时，分母，导致原方程无意义，因此是增根，应舍去．
故错误原因为小明未检验根是否使分母为零，直接认为是原方程的根，
故选：C．
8．B
解：过点C作，，
∵在中，，
，
∵在 中，，
，
∵米，
米，
解得：米．
故选：B．
9．B
解：∵，
，
，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，故A不符合题意；
，
，
，
∵，
，
∴四边形是平行四边形，故C不符合题意；
∵，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意；
故选：B．
10．A
解：∵点，是等边三角形，
， ．
∵绕点O旋转速度是/秒，旋转秒，
∴旋转的总角度为 ．
∵旋转一周是，，
∴旋转周后又额外旋转了 ．
∴绕点顺时针旋转后，点旋转到与初始位置关于原点对称的位置．
过作轴于，
是等边三角形，，
，，
∴初始点坐标为 ．
∴旋转后，对应点坐标为 ．
综上，第2025秒时点对应点的坐标为，
故选：A．
11．
解：由题意知，，
故答案为：．
12．
解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为，
∴甲每天完成，乙每天完成
∴两人合作一共需要天
故答案为：．
13．
解：∵，
∴
故答案为：．
14．
解：∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∵是平分线
∴
∴
故答案为：．
15． /
解：当时，
∴是等腰直角三角形
∴，
∵垂直平分，设交于点，
∴，
当时，是等腰直角三角形，
∴
∴
当，
如图，过点作于点，
∴，
∵垂直平分
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，线段的最大值为，最小值为
故答案为：，．
16．（1）（2）见解析
（1）解：
解不等式①，得：．
解不等式②，得：．
原不等式组的解集为：．
（2）证明：
为自然数，
能被整除．
17．，
解：原式
由题意知，，
即，
故取．
当时，原式．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
．
．
平分平分，
，
，
，
，
，即．
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴
平分平分，
∴，
∴
∵，平分，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
设点到的距离为
∴
∴
故答案为：．
19．(1)
(2)①，②
（1）左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：；
故答案为：；
（2）解：①拼成的大长方形的长为，宽为，
故答案为： ；
②依题意，．
20．(1)图见解析
(2)①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥
（1）解：哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，
∴
哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．弟弟每秒跑，哥哥出发秒后，弟弟所跑的路程为．
∴
如图，
（2）①根据图象可知：当秒时，弟弟跑在前面，当9秒时，哥哥追赶上弟弟；；
②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为；
③弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m．
故答案为：①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：，
为的中位线，
为BC的中点，
．
，
四边形BCDE为平行四边形．
（2），
．
为等腰直角三角形，
，
，即．
即，
，
由（1）知，四边形BCDE是平行四边形，
．
22．(1)8元，5元
(2)①；②8
（1）解：设乙品牌方便面的标价为元／盒，则甲品牌方便面的标价为元／盒，
由题意得：，解得：．
经检验，是原方程的根．
．
答：甲、乙两种品牌方便面的标价分别为8元、5元．
（2）①小明购买甲品牌方便面 盒，则购买乙品牌方便面 盒．
甲品牌每盒 元，乙品牌每盒 元，总费用 为：
简化：
∴．
②由题意知，，
解得，
为整数，
的最大整数值为8．
他最多能购买8盒甲品牌方便面
23．（1）①；②；（2）或
解：①当点与点重合时，是等腰直角三角形
∴，
故答案为：；．
②中的结论仍然成立，理由如下：
四边形为正方形，
，
，
，又，
，
，
（2）∵线段绕点逆时针旋转到，
∴是等腰直角三角形
如图，当在的延长线上时，作正方形，连接，
∴，
∵
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴三点共线，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，则
∵
∴，，，
在中，
当在上时，如图，
∵，
∴，
同理可得，四边形是矩形，
∴，，
在中，
综上所述，的长为或．

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