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河南省平顶山市2024---2025学年下学期七年级数学期末试题卷
一、单选题
1．事件“买一张彩票，中奖”是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不能确定
2．下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．沙门氏菌是蔬菜中残留细菌的常见类型，长期食用含此细菌的蔬菜会导致食物中毒，因此彻底清洗和加热食物是预防感染的关键．已知某种沙门氏菌的直径为微米，且1微米毫米，1毫米米，那么该细菌的直径用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，下列判断一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一棵树生长在坡角为的山坡上，已知树干与地面垂直，则树干与山坡所成的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，代数式的值为（　　）
A． B．17 C．11 D．
8．如图，已知，添加下列哪个条件不一定能判定的是（　　）
A． B． C． D．
9．小明在一次户外骑行途中骑车速度与时间之间的关系如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．小明骑行的总路程为千米
B．小明骑行前10分钟以300米/分钟的速度匀速前进
C．小明从开始骑行到停止休息，其中匀速行驶的时间为30分钟
D．小明从开始骑行到停止休息，其中匀速行驶的路程为6千米
10．如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．有两根长度分别为和的木棒，若选择第三根木棒能和这两根木棒首尾相连组成三角形，则第三根木棒的长度（整数）可以是 ．
12．计算的结果为 ．
13．一个口袋里装有1个红球、2个白球和3个黄球，它们除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为 ．
14．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ．
15．如图，在中，，，点是的中点，点是射线上一点，连接，点关于的对称点为，连接．当时，的度数为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数．
18．作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．

(1)如图1，的顶点A在直线上，已知，画出关于直线的对称，并直接写出的度数；
(2)如图2，表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点，使，请利用尺规作图，画出点的位置，并说出其中用到的数学道理．
19．如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题：
(1)图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________；
(2)若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值．
20．如图，在中，，点是中点，点是延长线上一点．
(1)尺规作图：作的平分线；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)过点作直线，分别交于点，交于点，补全图形，并说明．
21．某射击运动员在同一条件下进行射击，相关统计结果见下表：
射击总次数 10 20 50 100 200 500 C
击中靶心的次数 9 16 41 168 429 861
击中靶心的频率
(1)填空：表格中___________，___________，___________；
(2)根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
(3)根据图表信息，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率约为___________（精确到百分位）．
22．某快递公司同城快递的收费标准见下表（质量不足按计）：
质量 1 2 3 4 5
费用/元
请你根据表中信息，解答下列问题：
(1)上表反映的两个变量中，自变量是___________，因变量是___________；
(2)若小明快递的物品质量是，则他需要支付的费用是___________元；
(3)随着质量的增加，快递的费用是怎样变化的？
(4)若小华寄快递时支付了元，她快递物品的质量一定是吗？请举例说明；
(5)设快递物品的质量为，所需费用为（元），当为整数时，请你直接写出与之间的关系式．
23．（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示．
请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________；
（2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明；
（3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积．
参考答案
1．A
解：事件“买一张彩票，中奖”是随机事件，
故选A．
2．B
解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
3．D
解：∵1微米毫米，1毫米米，
∴1微米米．
∴微米米．
故选：D．
4．C
解：A． 若，则，错误
B． 若，则，错误
C． 若，则，正确
D． 若，无法判断平行，错误
故选：C．
5．C
解：A： ，选项A错误；
B： ，选项B缺少中间项，选项B错误；
C：，选项C正确；
D：，选项D错误；
故选：C．
6．A
解：如图，作，
∴，
∵树干与地面垂直，
∴
∴，
∴树干与山坡所成的角的度数为，
故选：A．
7．B
解： ．
将代入，得：．
故选：B．
8．A
解：∵，
∴，，
∴，
A、添加，满足边边角，无法得到，故本选项不符合题意；
B、添加，则，因而，满足角边角，可以证明，故本选项符合题意；
C、添加，满足角角边，可以证明，故本选项符合题意；
D、添加，满足边角边，可以证明，故本选项符合题意；
故选：A
9．D
解：∵路程速度时间，
∴小明骑行的总路程为，故A错误；
由图可知，小明骑行前10分钟速度从0升至300米/分钟，故B错误；
小明从开始骑行到停止休息，其中匀速行驶的时间为分钟，故C错误；
小明从开始骑行到停止休息，其中匀速行驶的路程为千米，故D正确，
故选：D．
10．B
解：由题意得，，
，
，
……，
以此类推可得，，n是大于2的正整数，
∴，
∴以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为，
故选：B．
11．5（不唯一）
解：由三角形的三边关系得，，即．
所以第三根木棒的长度（整数）可以是5，6，7，8，9，10，11，12．
故答案为：5（不唯一）．
12．/
解：
故答案为．
13．
解：
即恰好是白球的概率为，
故答案为：．
14．6
解：连接，，
∵是等边三角形的角平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长．
又∵是中点，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为： ．
15．或
解∶∵，，
∴，
①当点P在线段时，如图，
∵点关于的对称点为，
∴，，
又，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段的延长线上时，如图，
同①可求，
∴；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
16．（1）；（2）
解：（1）原式
（2）原式
17．这个三角形的三个内角分别为，，
解：设这个等腰三角形底角的度数为，则它的顶角的度数为
根据“三角形的三个内角和等于”得：
，
解得：
即
答：这个三角形的三个内角分别为.
18．(1)如图：即为所求，的度数为
(2)如图：点即为所求，数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（1）解：如图：即为所求；

∵，
∴，
∵关于直线的对称，
∴，
∴．
（2）解：如图：点P即为所求．

数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
19．(1)，
(2)
（1）解：图1中间画面的面积为；
图1中间画面的面积为．
故答案为：，．
（2）解：图1中空白区域的面积为：；
图2中空白区域的面积为：
由题意得，，解得：．
20．(1)图见解析
(2)，理由见解析
(3)作图见解析，说明见解析
（1）解：如下图所示，
以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，
分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，
作射线，
射线即为所求；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，
由作图知，，
，
；.
（3）解：补全图形如图所示，
由（）知，，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
．
21．(1)0.8，88，1000
(2)见解析
(3)
（1）解：由频率、频数、数据总数的关系可得：；；．
故答案为：．
（2）解：画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图如下：
（3）解：根据折线统计图，可得击中靶心的频率接近于．
22．(1)质量，费用
(2)
(3)物品的质量每增加，费用增加2元
(4)不一定，因为不足时按计，当物品的质量为时，费用按计费用，所以当物品的质量为时，所需费用也是14．5元．
(5)
（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是质量，因变量是费用．
故答案为：质量，费用．
（2）解：∵，
∴应按计算，即他需要支付的费用是元．
（3）解：通过观察可得：物品的质量每增加，费用增加2元．
（4）解：不一定，举例如下：
因为不足时按计，当物品的质量为时，费用按计费用，所以当物品的质量为时，所需费用也是14.5元．
（5）解：设，则：
，解得：．
所以与之间的关系式为．
23．（1）等腰直角三角形，1；（2）同意，理由见解析；（3）24或30
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）同意小明的观点，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当点为靠近的点的三等分点时，连接，
∵长方形，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点为靠近的点的三等分点时，连接，
同理可证明：，
∴，
∴，
综上所述：当点为边的三等分点时，四边形的面积为24或30．

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