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2025年甘肃省兰州市中考数学试题
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
2．（3分）计算：（　　）
A．6 B． C． D．1
3．（3分）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是（　　）
A．26° B．30° C．36° D．54°
4．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O．已知BC：B′C′＝1：2，则B（2，0）的对应点B′的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
5．（3分）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中∠ABC的大小是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
8．（3分）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，f的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同）．若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　）
A．95° B．100° C．110° D．145°
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．（3分）因式分解：2x2+4x+2＝　 　 ．
13．（3分）射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如表，请根据表中信息估计新手是　 　 ．（填写“甲”或“乙”）
甲 乙
平均成绩（单位：环） 6.58 7.67
方差s2 6.91 0.72
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ．
15．（3分）如图，黄金矩形ABCD中，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，曲线AFHK叫做“黄金螺线”．若AD＝2，则“黄金螺线”AFHK的长为 　 　 ．（结果用π表示）
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
17．（5分）解方程：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
20．（7分）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43′′，∠BAP＝89°22'38.09′′．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087）
21．（7分）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
22．（7分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图②．→折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q’，P’，m交l3于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧．
解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹，不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点Q′作出点P′； 任务二：在图⑥中作出折痕l3． （2）若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是　 　 °．
23．（7分）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 　 　 个豌豆荚，图中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 　 　 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE．
（1）求证：∠ADB＝∠AEC；
（2）若AB＝4，cos∠AEC，求OD的长．
25．（8分）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB＞BE），点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α（180°＜α＜360°），直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系．
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P′在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”．
（1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．在P1（﹣1，0），P2（1，2）中，　 　 是图W1的“映射点”；
（2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值；
（3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围．
2025年甘肃省兰州市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C B D D C A A C D
二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分）
12．2（x+1）2 13．乙 14．4 15．
三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4．
17．解：原方程去分母得：3x＝2x+2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝2．
18．解：解第一个不等式得：x＜5，
解第二个不等式得：x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x＜5．
19．解：（1）由条件可得b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y，
将点A（m，3）坐标代入解析式得：34，
解得m＝2，
∴A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，
∴S△PAC6，
解得x＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
20．解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43′′，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09′′，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
21．解：（1）观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
22．解：（1）任务一：如图，点P为所求．
任务二：如图，折痕l5为所求．
（2）如图，
由题意可知l4，l5是∠α的三等分线，
∴，
∴l2∥PK，
∴∠CDE＝∠CPk＝50°，
∴l2与l4相交所成的锐角是50°，
故答案为：50．
23．解：（1）本次调查活动中随机抽取豌豆荚个数为14÷14%＝100（个），
a＝100×40%＝40，
b＝100﹣（5+14+40+6）＝35，
故答案为：100，40，35；
（2）所调查豆子粒数的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C类，
所以所调查豆子粒数的中位数C类中，
故答案为：C；
（3）不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
24．（1）证明：∵BD为⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠AEC；
（2）解：∵∠ADB＝∠AEC，
∴cos∠ADB＝cos∠AEC，
在Rt△ABD中，∵cos∠ADB，
∴设BDx，AD＝3x，
∴AB2x，
即2x＝4，
解得x＝2，
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2，
∴OD2．
25．解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形ABCD与正方形BEFG，
∴AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，
∴EH，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴∠BCH＝∠MAB，
在AE上截取AM＝CH，
∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，
∴△MAB≌△HCB（SAS），
∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH，
∵∠HBG＝90°﹣∠CBH﹣∠EBC，∠EBM＝90°﹣∠MBA﹣∠EBC，
∴∠HBG＝∠EBM，
∴∠MBH＝∠EBM+∠EBC+∠CBH＝∠HBG+∠EBC+∠CBH＝∠EBG＝90°，
∴△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵AH＝AM+MH，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB，
在CG上截取CM＝AH，
∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，
∴△ABH≌△CBM（SAS），
∴BH＝BM，∠MBC＝∠ABH，
同理，△MBH是等腰直角三角形，
∴，
∵CH＝CM+MH，
∴．
26．解：（1）如图，当A，N重合时，P1关于ON的对称点为（0，﹣1），在线段AB上，
∵P1（﹣1，0）是图W的“映射点”，
而P2（1，2）关于ON的对称点不在AB上，则P2（1，2）不是图W1的“映射点”，
故答案为：P1（﹣1，0）；
（2）依题意，正方形的顶点到O的距离为，
∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为，
∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大，
将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b，
解得b＝2，
∴b的最大值2；
（3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线，
当p为W3的“映射点”，
∴∠P'ON＝∠PON，
又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON，
设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α，
∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α，
∴180°﹣2α＝α，
解得α＝60°，
∴∠PON＝60°，∠TON＝30°，
∵TN＝1，
∴OT＝2，
当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意，
∴t≤2，
当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2，
综上所述，﹣2≤t≤2．
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