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吉林省长春市宽城区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过一、二、三象限，则的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．下列函数中，自变量x的取值范围为的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
5．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5 B．1.4，1.5 C．1.48，1.5 D．1，2
6．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
7．一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
8．已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
10．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩，选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为 分．
11．如图，在中，，，．则 ．
12．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分线段，垂足为点．若，则的长为 ．
13．(2011江西)将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是________．
14．如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
15．解方程：．
16．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当液体密度时，直接写出浸在液体中的高度的取值范围．
17．已知：在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．求证：四边形是菱形．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，所画图形不全等，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画面积为4的，且点C、D均在格点上；
(2)在图②中画面积为4的菱形，且点E、F均在格点上；
(3)在图③中画面积为4的矩形．
19．某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额．
(2)该超市今年7月份的营业额为150万元，8、9月份营业额的月增长率相同，9月份的营业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年8、9月份营业额的月增长率．
20．我国在《黄帝内经》和《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．）
【数据的收集与整理】20名同学听音乐前频数分布表
心率（次/分）
频数 5 6 5 4
各组平均心率（次/分） 64 75 86 95
20名同学听音乐时心率扇形统计图
【数据分析】
平均数 中位数 方差
听音乐前 78 124.5
听音乐时 73 73.5 99
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心率较为平缓的是___________；（填“听音乐前”或“听音乐时”）
(3)如果兴趣小组再选择本年级200名同学开展试验，请估计这200名同学听该舒缓音乐时心率在组的人数．
21．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①）到爱国主义教育基地进行研学．上午，军车在离营地的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数关系如图②所示．
(1)军车的速度为________，的值为________；
(2)求大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式；
(3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．一次函数的图象分别与轴、轴相交于A、B两点，正比例函数的图象与相交于点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值．
23．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米．
24．如图，在四边形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)点到边的距离是否为定值，请说明理由；
(3)当点到边的距离是时，线段的长为____________；
(4)当的面积是时，直接写出线段的长．
参考答案
1．B
解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，
故只需写出的任意一个数即可，
选项B符合题意；
故选：B．
2．D
A项，因为1-x位于分母上，则1-x≠0，则该函数自变量x的取值范围为x≠1．故A项错误．
B项，因为自变量在分母上，则该函数自变量的取值范围为．故B项错误．
C项，根据二次根式的性质，，则自变量的取值范围为．故C项错误．
D项，根据二次根式的性质，，又因为二次根式位于分母上，则．所以自变量的取值范围为．故D项正确．
故选D.
3．C
解：∵
∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限
∴
解得：
故选：C
4．B
解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故选：B．
5．A
解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，
则中位数是1.5，
1.5出现次数最多，故众数是1.5．
故选：A．
6．C
解：由原方程移项，得，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得，
即，
故选：C．
7．C
解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故选C．
8．B
解：∵（是常数，）
∴双曲线过一、三象限，在每一个象限内，随着的增大而减小，
∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，且，
∴当时，；故选项A错误；
当，则：，
∴；故选项B正确，选项C错误；
当时，则：，；故选项D错误；
故选B．
9．
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：
10．
解：（分），
故答案为：．
11．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴ ，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴．
12．4
解：∵垂直且平分线段，
∴，
∵四边形是矩形，对角线与相交于点，，
∴，
∴，
故答案为：4．
13．
如图，根据菱形的性质得出∠ADC＝180°－x°，又∠CDB＝y°，
∴∠ADC＋∠CDB＋∠ADB＝360°
∴
14．①③④
解：对于①，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
即，
所以①正确；
对于②，
举反例：当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合，
四边形是菱形，
，
所以②错误；
对于③，
由①知，
，
，
，
，
所以③正确；
对于④，过点E作于点M，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
所以④正确；
综上所述，正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
15．
解：，
．
．
．
16．(1)
(2)
（1）解：设与的函数关系式为，
因为图象过，将，代入，得
，
解得，
所以与的函数关系式为。
（2）解：由可知，，
在时，随的增大而减小，
当时，；
当增大时，减小且；
所以当时， ．
17．见解析
证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图所示
（2）如图所示
（3）如图所示
19．(1)216万元
(2)20%
（1）解：前六天的总营业额为200万元，第七天的营业额是前六天总营业额的，
∴七天的总营业额为：（万元）．
（2）解：设该超市今年8、9月份营业额的月增长率为，
根据题意，得，
整理得，．
解得，（不符合题意，舍去），
答：该超市今年8、9月份营业额的月增长率为．
20．(1)79
(2)听音乐时
(3)80人
（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：∵
∴从方差看，心率波动小且心率较为平缓的是听音乐时，
故答案为：听音乐时；
（3）解：人，
答：心率在A组的同学人数为人．
21．(1)60，2
(2)
(3)
（1）解：军车的速度为，
大巴车的速度为，
∴，
故答案为：60，2；
（2）解：由（1）知大巴车的速度为，
结合图象，得大巴车离营地的路程与所用时间之间的函数表达式；
（3）解：部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：，
此时，
∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，
∴，
解得，
即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为，
此时，
结合图象可知，．
22．(1)
(2)15
(3)的值为或或2
（1）解：把点代入得，
，
．
（2）解：由（1）已知交点，作于点，于点，
，
点在解析式上，
时，，
解得．
点，．
当，
∴，
，，
∴；
（3）解：如图，由题意得，
的解析式为，与相交于点，为正比例函数图象，
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，
将代入，
则
∴．
当，2或时，、、不能围成三角形．
23．问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米
解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
24．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)是，点到边的距离为定值2，理由见解析
(3)或
(4)的长为或
（1）解：四边形为矩形，理由：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形；
（2）解：点到边的距离是定值，且这个定值为2；理由如下：
过点Q作于点F，如图所示：
则，
∵E为的中点，
∴，
根据旋转可知：，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到边的距离为定值2；
（3）解：当点Q在左侧时，过点Q作于点H，延长交于点F，如图所示：
则，
∵在矩形中，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点到边的距离是，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：或（舍去），
∵，
∴；
当点Q在的右侧时，过点Q作于点H，，交延长线于点G，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
综上分析可知：或．
（4）解：过点Q作于点H，于点G，如图所示：
则，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵的面积是，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴或．

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