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江苏省扬州市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各算式中的2和3可以直接相加的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．内错角相等
C．如果，那么 D．三角形的一个外角等于两个内角之和
4．从甲图到乙图体现的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
6．某长方形草地中需修建一条等宽的小路（阴影），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（ ）
A． B． C． D．
7．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
8．一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学计数法表示0.0000084为 ．
10．如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ．
11．已知：10m=2，10n=3，则10m﹣n= ．
12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”设该问题中的人数为人，物品的价格为钱，则可列二元一次方程组为 ．
13．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ．
14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ．
15．深圳科技馆中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号：shulishijie，密码
16．四个形状、大小相同的长方形，如图，拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为28厘米，那么，每块小长方形的面积是 平方厘米.
17．若，则的值为 ．
18．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解不等式组，并求出所有正整数解的和．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图所示，正方形网格中，的三个顶点都在格点上．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)把沿方向平移后，点平移到点，在网格中画出平移后得到的，在平移过程中，线段扫过的图形的面积是__________；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后得到的，在旋转过程中点经过的路径长为__________．
23．如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
24．青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？
25．（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；
（3）若，则的值为__________；
（4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________．
26．观察下列等式：①；②；③；……
(1)从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的形式表示你发现的规律：__________；
(2)证明（1）中你发现的规律．
27．题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点．
(1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．）
(2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则
①与的位置关系是 ．
②与的关系是____________．
28．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
【发现猜想】
（1）如图①，已知，为的角平分线，则的度数为__________；
【探索归纳】
（2）如图①，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由；
【问题解决】
（3）如图②，若．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
参考答案
1．C
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．D
解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D
3．C
解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意；
C、如果，那么，故本选项符合题意；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．B
解：甲图体现的不等关系为，
乙图体现的不等关系为，
∴只有选项符合题意，
故选：．
5．B
解：把代入得到，
解得
故选：B
6．B
解：A、C、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长-小路的宽）×长方形的宽，而B方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积，
故选：B．
7．A
解：由题意得：
，结论①正确；
由题意得：，
∵，
∴，
解得，结论②正确；
∵，
∴，，
∴
，结论③正确；
由题意得：，
∵，
∴，
∴或，
∴或，结论④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
8．D
解：由题意得：，
解得：，
故选：D．
9．
解：．
故答案为：．
10．答案不唯一
解：设车速为，
小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在，
建议车速为．
故答案为：答案不唯一．
11．
原式=，
∵10m=2,10n=3，
∴原式=，
故答案为.
12．
解：由题知，
故答案为：．
13．/80度
解：四边形是长方形，
，
，
沿折叠到，
，
，
故答案为：．
14．每一个内角都大于
解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于．
故答案为：每一个内角都大于．
15．1622
解：原式．
故答案为：1622．
16．12
解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则依题意得：
,解得：
∴小长方形的面积为xy=62=12（厘米2）.
故答案为12.
17．19
解：因为，
所以．
所以．
故答案为：19．
18．18
解：连接，过点O作，交的延长线于点H，
∵，
∴，
∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是，
∴．
∵，
∴，
∴.
根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即，
∴的面积最小值为．
故答案为：18．
19．(1)8
(2)
（1）解：原式；
（2）解：原式．
20．，和为6
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为正整数解为1，2，3；
其和为：．
21．，25
解：原式
时，
原式
22．(1)图见详解，9
(2)图见详解，
（1）解：如图， 即为所求．
则在平移过程中，线段扫过的图形为平行四边形，
．
在平移过程中，线段扫过的图形面积为9．
（2）解：如图， 即为所求．
在旋转过程中点经过的路径长.
23．见解析
证明：过点A作MNBC．
∵MNBC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC．
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．
24．(1)甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元
(2)甲种书柜至少购买10个
（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元．
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：，
解之得：，
所以甲种书柜至少购买10个．
25．（1）；（2）；（3）；（4）1，2，3，4
解：（1）
由①得出，然后将整体代入②式得∶
，
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（2）
由①得出，
把代入②得：
解得：，
把代入，
解得：，
则方程组的解为：
（3）∵，
则
（4）
由①②得：，
即，
∵
∴，
解得：，
则满足条件的的所有正整数值为1，2，3，4．
26．(1)（为正整数）
(2)见解析
（1）解：设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和，
规律可以表示为：（为正整数）；
（2）证明：左边右边
故结论得证．
27．(1)见解析
(2)①；②
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：①如图，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
②的角平分线为，
，
由①得，，，
，
．
故答案为：．
28．（1）；（2）；（3）
解：（1）∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：设运动时间为t，反向延长到E，如图：
由题意知，旋转了，旋转了，旋转了，
，，
∴，，，
∴经过9秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，
∴总运动时间为秒，
∴，，
当重合时，则，解得；
当重合时，则，解得；
当重合时，则，解得，
①当为，夹角的角平分线，即平分时，此时，如图：
∴，
；
解得（舍去）；
②当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图：
∴，
∴
解得，符合题意；
③当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图：
∴，
∴，
解得，符合题意；
④当为，夹角的角平分线，即平分时，，如图：
∴，
∴，
解得，符合题意；
综上所述，运动时间为秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．

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