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2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷
一.选择题：本大题有10各小题，每小题3分共30分。
1．（3分）某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（　　）
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温/℃ ﹣20 ﹣8 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，DeepSeek的全球下载量已突破1600万次，这无疑是AI应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（　　）
A．16×106 B．1.6×107 C．1.6×106 D．0.16×108
4．（3分）下列式子运算正确的是（　　）
A．x3+x2＝x5 B．x3 x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4
5．（3分）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大
D．平均数变大，方差变小
6．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（　　）
A．28° B．38° C．48° D．88°
7．（3分）如图，将正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后，点B的坐标变为（　　）
A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣1） D．（4，1）
8．（3分）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）若点A（m﹣3，y1），B（m﹣1，y2），C（m+1，y3）（其中1＜m＜3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比为（　　）
A．9：16 B．9：19 C．9：28 D．3：4
二.填空题：本大题有6道小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）因式分解：x2﹣1＝　 　 ．
12．（3分）分式方程的解是 　 　 ．
13．（3分）从拼音“jianporm”中随机抽取一个字母，抽中字母n的概率为　 　 ．
14．（3分）已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　 　 cm2．
15．（3分）如图，过⊙O外一点P作圆的切线PA，PB，点A，B为切点，AC为直径，设∠P＝m°，∠C＝n°，则m，n的等量关系为 　 　 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，连接点P与AB边的中点E，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，作∠PFC的平分线FG，交边AD于点G．若AB＝4，且E、O、G三点共线，则AP＝　 　 ．
三.解答题：本大题有8道小题，共72分。
17．（9分）计算：．
18．（9分）先化简，再求值：
，其中a2．
小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式（a2﹣4）（a2﹣4）……①
＝a﹣2+4……②
＝a+2……③
当a2时，原式4．
19．（9分）如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
20．（9分）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩（分） 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　 ，七年级活动成绩的众数为 　 　 分．
（2）a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（9分）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．
（1）如图1，已知△ABC，AB＝AC，AC≠BC，过点C能作出△ABC 的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；
（2）如图2，若MN是矩形ABCD 的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将∠ACD用含α的代数式表示为　 　 ；
（3）如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5．作出四边形ABCD的“紫金线”PQ．
22．（9分）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
（1）图乙中，点A对应状态 　 　 ，点B对应状态 　 　 ，（“状态”后填写图形序号）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）求线段AB对应的函数关系式．
（3）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度．
23．（9分）已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象是否经过点（3，9），并请说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当﹣6≤x＜1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD．BD交⊙O于点E，连接CE．已知AB＝AC＝AD．
（1）如图1，求证：∠ACE＝∠ADE．
（2）如图2，BD经过圆心O，AB∥CD，AB＝2CD．
①求cos∠BAC的值；
②若AB＝2，求⊙O的半径．
2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷参考答案
一、选择题：本大题有10各小题，每小题3分共30分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B． D A C A B C B
10．解析：连接BE
∵DE：EC＝3：1
∴设DE＝3k，EC＝k，则CD＝4k
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD＝4k
∴
∴S△EFD：S△BEF＝3：4
∵DE：EC＝3：1
∴S△BDE：S△BEC＝3：1
设S△BDE＝3a，S△BEC＝a
则S△EFD，S△BEF
∴SBCEF＝S△BEC+S△BEF
∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19
故选：B．
二、填空题：本大题有6道小题，每小题3分，共18分。
11．（x+1）（x﹣1） 12．x 13． 14．40π
15．m+2n＝180°
解析：连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠PAO+∠PBO+∠P+∠AOB＝360°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠P+2∠C＝180°，
∴m+2n＝180°．
故答案为：m+2n＝180°．
16．
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
如图，过点G作GH⊥CD于点H，得矩形DCHG，矩形AGHB，
∴AB＝CD＝GH＝4，∠GHF＝90°，
由折叠可知：∠APE＝∠OPE，
∴∠EOP＝∠A＝90°，
∴∠GOF＝∠GHF＝90°，
∵GF平分∠PFC，
∴∠PFG＝∠HFG，
∵GF＝GF，
∴△GFO≌△GFH（AAS），
∴GO＝GH＝4，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝BE＝2，
由折叠可知：AP＝OP，AE＝OE＝2，
∴EG＝EO+GO＝2+4＝6，
∴AG4，
∴PG＝AG﹣AP＝4AP，
在Rt△POG中，根据勾股定理得：PG2＝PO2+OG2，
∴（4AP）2＝AP2+42，
∴AP，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8道小题，共72分。
17．解：原式＝3﹣2×4+3
＝3﹣8+3
＝﹣2．
18．解：小明的解答中步骤①开始出现错误，
正确解答过程如下：
原式
，
当a2时，
原式
．
19．（1）证明：∵∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，
∴∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD．
（2）解：∵AC＝AD＝2，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AE＝CD＝2CE＝2BD，
∴ACBD，
∴BD＝2，
∴BD＝2，
∴BD的长为2．
20．解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分人数为10×50%＝5 （人），
成绩为9分的人数为10×20%＝2（人），
成绩为10分的人数为10×20%＝2（人），
则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人）
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分
故答案为：1；8．
（2）将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），
∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），
成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人）
即a＝2，b＝3，
故答案为：2；3；
（3）不是，理由如下：
结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为，
八年级的优秀率，
七年级的平均成绩为（分）
八年级的平均成绩为（分）
∵40%＜50%，8.5＞8.3，
∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
21．解：（1）过点C不能作出△ABC 的“紫金线”，
理由：设过点C能作直线“紫金线”CD交AB于点D，
如图：
则点D为AB中点，满足平分面积，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴△ACD 与△BCD周长不相等，
故不能平分该图形周长，
∴不能作出△ABC 的“紫金线”；
（2）由题意得AE平分∠DAC，当MN是矩形ABCD的“紫金线”，则MN是AC的垂直平分线，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CO＝AO，∠FOA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，AD＝BC，∠ADC＝90°，
∴∠FCO＝∠NAO，
∵∠FOC＝∠AON，
∴△OAN≌△OCF（ASA），
∴FC＝AN，
∴BN＝DF，
∴FD+DA+AN＝BN+BC+CF，左右两部分梯形面积也一样，
∴MN即平分周长也平分面积，
∴直线MN是矩形ABCD的“紫金线”，
∵∠1＝α，∠FOA＝90°，
∴∠EAO＝∠DAE＝90°﹣α，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣2（90°﹣α）＝2α﹣90°，
故答案为：2α﹣90°；
（3）如图，直线PQ即为所求：
记直线PQ与AD，BC分别交于点F、E，连接AE，DE．
∵直线PQ是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，FA＝DF，
∴S△AFE＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2 DE2＝DC2+CE2，
∴32+BE2＝52+（8﹣BE）2，
解得：BE＝5，
∴CE＝8﹣5＝3，
∴AB+BE＝CE+DE，
∴AB+BE+AF＝CE+DE+DF，
∴直线PQ平分该图形周长，
∵S△ABE＝S△DEC3×5＝7.5，
∴S△AEE+S△AFE＝S△DEC+S△DEF，
∴直线PQ平分该图形面积，
∴直线PQ为四边形ABCD的“紫金线”．
22．解：（1）∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数F一直在减小，
∴图乙中，点A对应状态②，点B对应状态④，
∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N，
∴a＝10，b＝5．
故答案为：②，④，10，5．
（2）设线段AB对应的函数关系式为F＝kh+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标A（4，10）和B（10，5）分别代入F＝kh+b，
得，
解得，
∴线段AB对应的函数关系式为Fh（4≤h≤10）．
（3）当F＝8时，得h8，
解得h＝6.4，
6.4﹣4＝2.4（cm）．
答：圆柱体浸入水中的高度为2.4cm．
23．解：（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，∴4﹣2b+3b＝4．
∴b＝0．
∴此函数表达式为：y＝x2，
∴当x＝3时，y＝9．
∴图象经过点（3，9）．
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），
∴m，n．
∴b＝﹣2m，
把b＝﹣2m代入n，
∴nm2﹣6m．
∴n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．（3）由题意，把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，
∵抛物线不经过第三象限，
∴3b≥0，即b≥0，
∵y＝x2+bx+3b＝（xb）23b，
∴抛物线顶点（b，3b），
∵b≤0，
∴当3b≥0时，抛物线不经过第三象限，
解得b≤12，
∴0≤b≤12，﹣6b≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
当36﹣3b﹣（3b）＝16时，
∴b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．
当1+4b﹣（3b）＝16时，
∴b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝4或6．
24．（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADE．
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠ADE；
（2）解：①连接OA，OC，如图，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠OAB＝∠OACBAC，
∵OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAC＝∠OCA，
∵AC＝AD，AB＝AD，
∴∠∠ACD＝∠ADC，∠ABD＝∠ADB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠CBDADC，
∵∠ACE＝∠ADE．
∴∠ECD＝EDC＝ABO＝∠OAB，
∴△OAB∽△ECD，
∴，
∴．
∵BE为圆的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴cos∠BEC．
∵∠BAC＝∠BEC，
∴cos∠BAC；
②连接OA，OC，AO的延长线交BC于点F，如图，
设⊙O的半径，则BE＝2r，
由（2）①知：，
∴CEr，
由（2）①知：∠OAB＝∠OACBAC，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，BF＝CF，
∵OB＝OE，
∴OF为△BCE的中位线，
∴OFECr，
∴BF2＝OB2﹣OF2，
∵AF＝OA+OF，AF2+BF2＝AB2，
∴，
∵r＞0，
∴r．
(
1
/
21
)

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