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2024-2025学年河南省南阳市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
4.若，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于( )
A. B. C. D.
6.在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是( )
A. 与的夹角为钝角 B. 向量在上的投影向量为
C. D. 的最大值为
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D. 若复数满足，则的最小值为
11.已知圆锥是圆锥底面圆的圆心，是圆锥的顶点的母线长为，底面半径为若，为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为 B. 面积的最大值为
C. 三棱锥体积的最大值为 D. 圆锥的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为______．
13.已知单位向量，满足，则______．
14.一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上米后，升高了______米
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数以及模．
16.本小题1分
已知函数，．
求；
若函数只有一个零点，求实数的取值集合．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为．
画出平面和平面的交线，并说明理由．
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，某小区为美化环境，建设美丽家园，计划在一块半径为为常数的扇形区域上，建个矩形的花坛和一个三角形的水池其中，为圆心，，，，在扇形圆弧上，，分别在半径，上，记与，分别交于，，．
求的面积关于的关系式，并写出定义域；
若米，花坛每平方米的造价是元，试问矩形花坛的最高造价是多少？取
19.本小题分
如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．
求证：直线平面；
求证：；
求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，，
又为纯虚数，且，解得，；
，．
16.由题意得
，
所以．
因为，所以，
令，则，函数化为，
函数只有一个零点等价于方程只有一个解，
即，也即在上只有一个解，
根据正弦函数的图象，可得或，解得或，
所以实数的取值集合为或．
17.解：延长，交于点，连接，则即为平面和平面的交线，
理由如下：
由，，平面，平面，
可得平面，平面，
可得平面平面，
由平面，平面，
可得平面平面，即为平面与平面的交线；
由题意易得，
可得，解得，
由于，可得，可得，
由于，
可得，，
可得，
因为，，
设点到平面的距离为，
可得，解得，
即点到平面的距离为．
18.解：连接，如图所示：
因为，所以，易证≌，所以，
因为，所以，所以，，
所以 ；
因为，
所以，
所以
，
因为，所以当 时，最大，
故矩形花坛的最高造价是元．
19.解：证明：连接交于点，连接，如图，
则为的中点，
由于是的中点，故，
平面，平面，
平面；
证明：在四棱柱中，底面是菱形，则，
又平面，且平面，则，
平面，平面，，
平面，又平面，
；
连接，，
，是的中点，，
，平面，平面，
又平面，，
由底面是菱形，得，
又，，平面，
平面，又平面，
，
则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
二面角的余弦值为．
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