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2024-2025学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.有一组数据按从小到大排序如下：，，，，，则这组数据的第百分位数，第百分位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知，，则与向量方向相反的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，为的中点，则直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是( )
A. B. C. D.
7.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A.
B.
C.
D.
8.空间的个，个，个，个平面最多可将空间分别分成个，个，个，个区域，则空间的个平面最多可将空间分成的区域个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个正八面体的八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为记事件“接触面上的数字是偶数”事件“接触面上的数字
是素数”，事件“接触面上的数字小于”，则下列结论正确的是( )
A. 事件与互斥 B. 事件与相互独立
C. D.
10.某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和抽取了女生人，其平均数和方差分别为和由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是( )
A. B. C. D.
11.如图，在正三棱柱中，，分别是棱，上的点记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则( )
A.
B.
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的共轭复数是______．
13.如图，在四边形中，若，则实数 ______．
14.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为______，该圆锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个盒子中装有标号为，，，的张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字．
若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率；
若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，垂足为．
求证：平面平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
当时，求与；
设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值．
18.本小题分
已知的三个内角，，的对边分别为，，，设，的面积为．
求证：；
已知，，求的内切圆半径；
已知，且，求的最大值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点．
求证：；
若，求三棱锥的体积；
设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：．
参考答案
1.
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14.
15.从装有标号为，，，的张标签，依次随机选取两张标签，
若标签的选取是不放回的，样本空间，，，，，，
则的情况有，，，
故概率；
若标签的选取是有放回的，样本空间，，，，，，，，
则的情况有，，，，，，
故概率．
16.证明：由正四棱柱性质可得：，，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，；
又因为，，平面，所以平面平面；
连接，由正四棱柱可知，平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，又因为，
，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
17.依题意得：当时，
，
．
当时，
，
当时，；
当时，，
所以时，，此时，
所以，
且在区间上的最小值为．
18.证明：由余弦定理得：，
所以，
因为
，
因为，
即证得：；
解：已知，则，由的内切圆半径，可用等面积法知，
即，解得；
解：由，由正弦定理可得：，
因为，所以，
再由，可知：，所以，
根据海伦公式可知：
，
当时，，
此时，．
19.证明：设中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，所以，，
又，所以，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
过作交于，由知平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又，，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
因为，，，
所以，，
又平面，是中点，
所以；
证明：由知，，过作交于，
所以，又平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，，
设的高，
所以，
又，，
所以≌，
即，
所以三棱锥的表面积，，
所以三棱锥的内切球半径，
所以，
即．
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