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2024-2025学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部等于( )
A. B. C. D.
2.如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.某企业三个分厂生产同一种电子产品共件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂件，来自第三分厂件，则第一分厂生产的电子产品件数为( )
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
4.甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若平面向量两两的夹角相等，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为，则( )
A.
B.
C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒
8.某同学掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据统计结果，得到数据的平均数为，方差为，下列说法错误的是( )
A. 出现点数 B. 出现点数 C. 出现点数 D. 出现点数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数，则
B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限
C. 是复数为虚数的充分不必要条件
D. 若复数是关于的实系数方程的一个根，则
10.下列论述正确的是( )
A. 若事件，则
B. 必然事件与任意事件相互独立
C. 若事件，互斥，且，，则
D. 若事件，相互独立，且，，则事件，不互斥
11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则( )
A. 平面
B. 直线与底面所成的角为
C. 正三棱台的外接球体积为
D. 若点为底面的动点，且，则的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据如下：，，，，，，，，，，则该组数据的第百分位数是______．
13.设，在复平面内，复数所对应的点为，那么满足条件点的集合构成图形的面积为______．
14.已知是钝角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，，则的周长的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在长方体中，，．
求证：直线平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角；
若的面积为，，且，求．
17.本小题分
一个袋子中有个红球，个白球，球的大小和质地相同．
若，，采取不放回的方式从中依次随机地取出个球，求第二次取到白球的概率；
若，采取不放回的方式从中依次随机地取出个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求；
若，采取有放回的方式从中依次随机地取出个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值．
18.本小题分
从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出如图所示频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
求的值；
若新增加户居民用户的月用电量，数据分别为，，，，；
Ⅰ估计户居民用户月用电量落在中的可能性；
Ⅱ将原来的户与新增的户分成两组，估计户居民用户月用电量的平均值．
19.本小题分
在棱长均为的正三棱柱中，为棱的中点，为棱的动点，连接、、．
证明：；
线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：在长方体中，，，
则四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以直线平面；
在长方体中，由，，
得，，
等腰的面积，
，
设点到平面的距离为，
由，
得，
即，解得，
所以点到平面的距离为．
16.因为，，且，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
显然，所以，
又因为，所以；
因为的面积为，，
所以，即，
因为，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
因为，所以为的中点，所以，
所以．
17.记个红球为，个白球为，，，依次取出个球的样本空间，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，
第二次取到白球的事件，共个，
所以第二次取到白球的概率；
从个球中依次取个球的试验有个基本事件，
先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，
因此，
整理得解得或，所以或；
有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，
先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最大值为．
18.根据题意可得，解得；
若新增加户居民用户的月用电量，数据分别为，，，，，
Ⅰ因为户居民用户中月用电量落在内的用户数为，
所以估计户居民用户月用电量落在中的可能性为；
Ⅱ根据题意可得来的户的月用电量的平均数估计为：
，
又新增加户居民用户的月用电量的平均数为，
所以估计户居民用户月用电量的平均值为：
．
19.证明：连接，，由题意可得四边形，四边形都是边长为的正方形，
则，又为棱的中点，
则，
又，故AE；
取中点，连接，，过点作于点，连接、，
由为正三角形，则，又底面，
平面，故BB，
又，、平面，
故A平面，又、平面，
故A，，又，，、平面，
故EF平面，又平面，
故EF，
故即为二面角的平面角，
则，
又正三棱柱的棱长均为，则，
则，
故，
由，
故，
则，
即有，
则，故存在，且；
设直线与，的延长线分别交于点，，
则平面，又平面，
则有平面平面，，
即，，三点共线，由为棱的中点，则，，
设，，
则，，
设的面积为，则，
又，于是，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以．
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