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2024-2025学年福建省福州市九校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知平面向量，满足，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁、戊名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件，则( )
A. B. C. D.
8.设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则( )
附：若，则，．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 命题“，”的否定是，
B. 满足的集合的个数为
C. 已知，，则
D. 已知指数函数且的图象过点，则
10.在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面 B.
C. ，，，四点共面 D. 平面平面
11.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 的取值范围是
C. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是
D. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项的二项式系数为______．
13.若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为 ．
14.已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等差数列的前项和，，．
求，；
若数列的前项和为，求满足的最小正整数．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且是的中点，，．
求证：平面；
求与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知、、分别为三个内角、、的对边，且，为锐角．
求角的大小；
在的面积为，，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上．
问题：若，，___，求、的值．
18.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求；
求的单调区间和极值．
19.本小题分
如图，已知椭圆：的上、下焦点分别为、，左顶点为，焦距为，若为正三角形．
求椭圆的标准方程；
过点，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求的长；
过点的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，，
所以，
．
由知，，
所以，
因为，所以，即，解得，
故满足的最小正整数为．
16.解：证明：平面，平面，
，又四边形是矩形，则，
，、平面，
平面，平面，
，
又是的中点，，则，
而，、平面，
平面；
由题易知：，，两两互相垂直，
以为空间坐标系的原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，
设平面法向量为，
则，则，
即，
令，，则，
即，
而，
则，
设与平面所成角为，则，
．
17.解：中，，
由正弦定理得：，
又，，
，即，
又为锐角，
；
若选的面积为，则；
又，由余弦定理得：，即；
联立及，得，；
若选，即，以下与选时的解答相同；
选，即，由余弦定理得，
所以，而，
故，即，为直角三角形，
所以，．
18.解：，则，
由题意可得，解得；
由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值．
19.解：由焦距为可得，再由为正三角形，为左顶点，可得，
所以，
所以椭圆的方程为：；
由可得上焦点，
由题意可设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得，
可得，，，
所以弦长；
当直线的斜率不存在时，则过的直线为轴，可得，为短轴的顶点，
因为，设，，，则，，
显然，所以直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，
设，，
联立，整理可得：，
可得，，
因为，即，
可得，即，代入，可得，，
再代入，可得，解得：，
可得，
所以直线的方程为．
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