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2024-2025学年重庆市高一下学期7月期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.对于数据，下列说法错误的是( )
A. 平均数为 B. 众数为 C. 极差为 D. 中位数为
3.已知圆台上下底面面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率由计算机产生，，，四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：，由此可以估计事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
7.某俱乐部举行羽毛球友谊赛，该比赛采用的是三局两胜制现有甲乙两人参加比赛，根据统计，在两人以往的场比赛中，甲获胜场，乙获胜场以频率估计概率，各局比赛互不影响，则这次比赛甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内对应的点可能是
B.
C. 的实部与虚部之积小于等于
D. 复数，则的最大值为
10.若是空间中三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.某公司举行周年庆活动，在活动中设置了一个游戏环节，每人随机抛掷两个编号分别为和的质地均匀的骰子记事件：至多一个骰子的点数为奇数；事件：两个骰子的点数之和为奇数；事件：两个骰子的点数均为偶数；事件号骰子的点数大于等于则( )
A. 与对立 B. 与互斥 C. 与相互独立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知直角中，两直角边，以所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为 ．
14.学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生男女生人数之比为中抽取了一个容量为的样本其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的均值为 ，方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某学校高一学生共有人，为了解高一学生的课外阅读时间，从中随机抽取了位同学进行调查，将他们上周课外阅读的时间单位：小时按照分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值并估计样本数据的第百分位数；
已知样本中阅读时间大于等于小时的学生中，男女学生各占一半，阅读时间小于小时的学生中男生占，试估计该学校高一年级男生的人数．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，已知平面，底面为平行四边形，且，．
证明：；
若，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，政府规划一个四边形区域为市民打造休闲场所，拟在区域挖一个人工湖，区域建设公园，对角线修建步道，其中．
若公园区域是一个占地面积为平方千米的钝角三角形，需要修建多长的步道？
在规划要求下，保证公园占地面积最大的同时，人工湖的最大面积是多少？并求此时的长度．
18.本小题分
某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到元的即可抽奖一次，即消费满但不足元的可抽奖一次，消费满但不足元的可抽奖两次，依次类推抽奖规则为：在一个盒子中共有个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球个，黄球个，蓝球个，绿球个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得元红包，抽到黄球即可获得元红包，抽到蓝球即可获得元红包，抽到绿球即可获得元红包每次抽奖结果相互独立．
已知小明共消费元，求小明抽到的红包均不相同的概率；
已知小方共消费元，求小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于元的概率．
19.本小题分
已知是所在平面上的一点，且．
证明：；
若，记，
当时，求；
比较与的大小，并说明理由．
参考答案
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14.
15.由频率分布直方图可知，，
解得，
设样本数据的第百分位数为，
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，
解得，故估计样本数据的第百分位数为．
上周阅读时间在的频数为，
故样本中阅读时间大于或等于小时的男生有人；
上周阅读时间在的频数为，
即样本中阅读时间小于小时的学生中男生有人；
所以样本中男生共有人，高一年级男生总人数为人
16.在中，．
由正弦定理，得．
因为，所以，从而为矩形．
因为平面，所以．
又因为，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
作于点．
由知平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为，平面平面，
所以平面，
故为在平面上的射影，为直线与平面所成角．
又平面，所以，
在直角中，，有，
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.，
根据三角形的面积公式可得，
解得，
由是钝角，得，
根据余弦定理可得，
，
所以需要修建的步道．
由题意，，
当且仅当时取到等号，此时，
设，
在中，根据正弦定理可得，
根据三角形的面积公式可得
，
由，得，当，
即时，，
此时．
18.根据规则，小明可以抽次球，
次均抽到红球或次均抽到绿球的概率均为，
次均抽到黄球或次均抽到蓝球的概率均为，
因此次抽到相同颜色球的概率为，
从而次抽到不同颜色球的概率为，
所以小明抽到的红包均不相同的概率为．
根据规则，小方可以抽次球，要使得“获得红包总金额不低于元”，有以下情形：
抽到“两个绿球和一个其他颜色球”，则概率；
抽到“两个蓝球和一个绿球或一个黄球”，则概率；
抽到“两个黄球和一个绿球”，则概率，
所以小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于元的概率．
19.由，得，所以
由，得，所以
由，得：，从而，
即，故．
作于，由，
得，，
，
，故，
，当且时，．
，
所以，
所以，
所以
所以．
当时，．
所以．
．
由题意，，
所以．
，
因为，所以，
从而，
当且仅当时，取“”
所以，即．

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