2024-2025学年湖南省长沙市望城区第六中学高二下学期7月期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年湖南省长沙市望城区第六中学高二下学期7月期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年湖南省长沙市望城区第六中学高二下学期7月期末
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 .
A. 的图象关于直线对称
B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称
C. 方程在区间有个不等实根
D. 在上单调递增
3.已知两直线与的交点在圆的内部,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知方程表示双曲线,则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
7.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是
A. B. C. D.
8.在等腰中,为上一点,且,记的外心为,若,则( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件“第一枚正面朝上”,事件“第二枚正面朝上”,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立
10.已知数列的前项和为,前项积为,,且( )
A. 若数列为等差数列,则 B. 若数列为等差数列,则
C. 若数列为等比数列,则 D. 若数列为等比数列,则
11.多选已知函数,则以下结论正确的是( )
A. 函数的单调减区间是
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正实数,使得成立
D. 对任意两个正实数,,且,若则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数有唯一零点,则
13.在中,,,,,记,,用,表示 ;若,则的最小值为 .
14.在锐角三角形中,已知,则角的取值范围是 ,的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数.
求的单调性;
证明:.
16.本小题分
已知函数在区间上的最小值为.
求;
若过点存在条直线与曲线相切,求的值;
(ⅱ)问过点,,分别存在几条直线与曲线相切只需写出结论
17.本小题分
某企业生产某批产品按产品质量单位:从高到低依比例划定,,,,五个等级,等级优于等级,等级优于等级,等级优于等级,等级优于等级.其中等级产品占该批产品的,等级产品占该批产品的,等级产品占该批产品的,等级产品占该批产品的,等级产品占该批产品的现从该批产品中随机抽取件产品对其质量进行分析,并绘制出如图所示的频率分布直方图,其中.

求图中,的值;
根据频率分布直方图,估计企业生产的该批产品的质量的平均数同一组的值用该组区间的中点值作为代表;
用样本估计总体的方法,估计该批产品中等级及以上等级的产品质量至少为多少?
18.本小题分
已知函数是偶函数.
求实数的值;
若关于的方程有且仅有一个实数根,求实数的取值范围.
19.本小题分
三棱柱中,侧面为菱形,,,,.
求证:面面;
在线段上是否存在一点,使得二面角为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
参考答案
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15.解:定义域为,

当或时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增;
证明:令,
当时,,当时,,
所以函数在上递减,在上递增,
所以的最小值为,
故当时,,即,
当时,,
因为,
所以,
所以,
所以.
16.解:由题意,,令,解得,
在和上,则单调递增,
在上,则单调递减.
当时,在区间上单调递减,则,
解得,不满足题意;
当时,在区间和上单调递增,
在区间上单调递减,
则,即,或,即;
综上所述,.
设过点的直线与曲线相切于点,则
,且切线斜率为,所以切线方程为,
因此,整理得:,
设,则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”,,
与的情况如下:
递增
递减
递增
所以,是的极大值,是的极小值,
当或即或时,过点存在条直线与曲线相切,故或.
(ⅱ)过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切;
过点存在条直线与曲线相切.
17.解:由题意,得
解得,.
企业生产的该批产品的质量的平均数约为
等级达到及以上的占比为,
设该批产品中等级及以上等级的产品质量至少为,易得,
则,
解得,所以该批产品中等级及以上等级的产品质量至少为.
18.解:由函数是偶函数,所以,
即,
即,又恒成立,即恒成立,
所以,即得;
解法一参变分离:由有,
又方程可化为,
可化为,即等价于,
令,方程可化为,
当,即时,方程可化为,显然矛盾,故不是方程的根,
当时,方程可化为,即,
令,方程可化为,
即化为在上仅有一个实根,
等价于函数在的图象与常值函数的图象仅有一个公共点,
由函数图象可得或,解得或,
综上所述,实数的取值范围为.
解法二根的分布:由有,
又方程可化为,
可化为,即等价于有且只有一解,
即只有一解,整理得,
令,可化为方程在上仅有一个实根,
当,即时,此时,显然不满足题意,
当,即时,此时恒成立,
由此可设方程的两个实根为,及二次方程根与系数的关系可得
此时方程必有一正根和一负根故时,显然满足题意,
当,即时,要使得方程在上仅有一个实根,
若满足,故此时方程必有两个同号的实根,故不可能在上仅有一个实根,
则只需要满足,解得,即.
综上所述,实数的取值范围为:.
19.解:取的中点,连结,,,
为等腰直角三角形,所以,;
侧面为菱形,,
所以三角形为为等边三角形,所以,
又,所以,又,满足,所以;
因为,所以平面,
因为平面中,所以平面平面.
由问知:两两垂直,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间之间坐标系.
则,,,,
若存在点,则点在上,不妨设,
则有,则,
有,,
设平面的法向量为,
则解得:
平面的法向量为

解得:或舍
故存在点,.

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