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第四章 三角函数与解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识点35 同角三角函数的基本关系
回归教材
同角三角函数的基本关系：，。
常用变形：。
教材素材变式
1.[人 A 必修一 P184 练习第 3 题变式] 已知角 满足 , 。
2.2024 全国甲卷(文) [人 A 必修一 P185 习题 5.2 第 12 题变式]
若 ，则 。
3.[多选][人 A 必修一 P256 复习参考题 5 第 24 题变式] 已知 ，则下列等式正确的是（）
A. B.
C. D.
4.[人 A 必修一 P186 习题 5.2 第 16 题变式] 已知 ，化简：。
。
5.[人 B 必修三 P26 练习 A 第 3 题、练习 B 第 2 题变式] 已知 ，则
；
；
；
(4) 。
变式探究
变式 1 变形式 若 ，则（）
A. B. C. D.
变式 2 不是齐次式 已知 ，则（）
A. 10 B. C. D. 3
变式 3 逆向求解 已知 ，则 。
变式 4 与对数结合 设 ，且 ，则 的值是（）
A. B. 3 C. D. 不存在
变式 5 弦化切 若 ，，则 。（）
A. B. 3 C. D.
知识点36 诱导公式
回归教材
三角函数的诱导公式
项目 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
归纳:可将这些公式中的角的形式归纳为 的形式，记忆变换的 变为奇偶不变，符号看象限。
教材素材变式
1.[人 A 必修一 P195 习题 5.3 第 6 题变式] 已知 为第三象限角，且 ，则 ， ， 。
2.[人 A 必修一 P195 习题 5.3 第 7 题变式] 在 中，下列等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
3.[苏教版修一 P191 练习第 4 题变式] 已知 ，则 的值 ，的值为 。
4.[人 A 必修一 P194 习题 5.3 第 3 题变式] 化简： 。
5.[人 A 必修一 P196 习题 5.3 第 8 题变式] 若 ，则 。
变式探究
变式 1 变条件 已知角 满足 ，则 。
变式 2 与函数结合 已知 。
(1) 化简 ；
(2) 若 ，求 的值。
知识点35 同角三角函数的基本关系
1. 答案:
解析:
由 ，利用 ，得 。
（符号由象限决定，题目未限定象限，故取正负）。
2. 答案:
解析:
设直角三角形，邻边为 3，对边为 1，斜边为 。
，。
。
3. 答案: A、B、D
解析:
A: 平方后得 （正确）。
B: 由 ，因 且 ，故 （正确）。
C: （错误）。
D: 利用立方和公式得 （正确）。
4. 答案:
解析:
通分后合并得 （因 ，但进一步简化需具体值）。
5. 答案:1. 2. 3. 4.
解析:
设 ，。
(1): 直接代入得 。
(2): 。
(3): 。
(4): 。
变式探究
变式1
答案: A
解析:
由 ，设 ，，代入得 。
变式2
答案: A
解析:
分子分母同除以 ，得 。
变式3
答案:
解析:
交叉相乘后解方程 ，得 。
变式4
答案: B
解析:
对数性质得 ，展开后除以 ，解 。
变式5
答案: A
解析:
设 ，由 ，化为 ，解得 。
知识点36 诱导公式
1. 答案:
解析:
由 及第三象限，得 ，。
利用诱导公式化简剩余部分。
2. 答案: C
解析:
在 中，，故 。
3.
答案:
解析:
，故 。
第二问直接化简得 。
4. 答案:
解析:
利用周期性及诱导公式，最终化简为 。
5. 答案:
解析:
。
，故总和为 。
变式探究
变式1答案:
解析:
设 ，利用和角公式化简方程，解得 。
变式2解：(1) 1.逐项化简分子和分母：
（诱导公式：奇变偶不变，符号看象限）。
。
。
。
。
。
2.代入化简：
分子：。
分母：。
3.约分：
由于 ，所以：
(2) 1.变量替换：
设 ，则 。
代入已知条件：
因此，，且 。
2.计算目标表达式：
第一项：。
第二项：。
3.合并结果：第四章 三角函数与解三角形
第五节 解三角形
知识点43 利用正、余弦定理解三角形
回归教材
在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，R为△ABC的外接圆半径.
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ; ; .
常见变形 边化角: ,,; 角化边: , , ; 求比值: 求角或角化边: , ,
教材素材变式
1.[多选][2024年新高考II卷第10题改编][人B必修四P7练习A第3题变式] 在△ABC中，下列说法正确的是（）
A. 若=2b，则sinA=2sinB
B. (sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)0
C. 若cosA=bcosB，则△ABC是等腰或直角三角形
D. 若 +b >c ，则C<90°
2.[多选][2025年北京海淀区二模第12题][人A必修二P48练习第2题变式] 已知△ABC中，=，B=60°，则能使三角形有唯一解的补充条件是（）
A. b=3 B. c=4 C. A=45° D. 面积
变式探究
变式1 [2024年浙江高考第16题] 在△ABC中，，则周长为____。
变式2 [2025年湖北八校联考] 在△ABC中，C=，c=2，当a∈时，解的个数为____。
3.[2024年全国甲卷理科第17题][人A必修二P53习题6.4第16题变式] 在△ABC中，=2bcosC+csinB，则B=____。
4.[2025年江苏苏锡常镇调研][人A必修二P53习题6.4第17题变式] 在△ABC中，，(sinA-sinB)(b+)=c(sinB+sinC)，则外接圆半径为____。
变式探究
变式1 [2024年湖南师大附中月考] 已知△ABC外接圆半径，且满足csinA=4sinB-cosC，则A=____。
变式2 [2025年深圳外国语学校模拟] 在△ABC中，A=，=3，若sinB+sinC=sinBsinC，则 =____。
5.[2024年山东潍坊一模][人B必修四P11练习A第5题变式] 在△ABC中，c(cosA+)=cosC，且,b,c成公差为-1的等差数列，则=____。
知识点44 三角形形状的判断及三角形的面积
回归教材
在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c.
三角形的面积公式 ，其中R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p为△ABC周长的一半。
三角形内角特征的判断 为钝角; 为直角; 为锐角
教材素材变式
1.[2025年广州二模][人A必修二P53习题6.4第10,18题变式] 在△ABC中，=b，B=，S=，则b=____。
变式探究
变式1 [2024年重庆巴蜀中学月考] 若△ABC三边高之比为1:2:3，最短边为2，则面积为____。
变式2 [多选][2025年福建质检] 在△ABC中，sinB+csinA=6sinA，bc=b+c+3，S=2，则周长可能为____。
变式3 [2024年天津南开区期末] 在△ABC中，sinB=bcosA， =(b-c) +6，则S=____。
2.[多选][2025年南京师大附中模拟][人A必修二P55阅读与思考变式] 关于秦九韶"三斜求积术"，正确的有（）
A. 等价于海伦公式
B. 当 +c =b 时退化为S=c/2
C. 对钝角三角形不适用
D. 需要知道三边长
3.[多选][2024年成都七中月考][人B必修四P20复习题B组第1题变式] 下列说法正确的是（）
A. 在△ABC中，若=5,b=4,A=2B，则cosB=
B. 若tanAtanB>1，则△ABC不是锐角三角形
C. 若sin A+sin B=sin C，则△ABC是直角三角形
D. 若cosB=bcosA，则△ABC是等腰三角形
4.[2025年浙江Z20联盟联考][人B必修四P11练习A第4,5题变式] 在△ABC中，,b,c成公差为2的等差数列。
(1) 若ccosB+bcosC=5，求S；
(2) 当a=4时，判断△ABC形状。
知识点45 与中线、角平分线、高线有关的解三角形问题
回归教材
与中线、角平分线、高线有关的解三角形问题的解题策略：
中线 问题 在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB、AC的长及∠BAC的大小，求中线AD的长： 倍长中线法：如图，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，构造全等三角形，再用余弦定理求解即可； (2) 向量法：，平方即可； (3) 余弦定理法：利用邻补角余弦值互为相反数（），分别应用余弦定理求解即可； (4) 中线长定理法：。
角平分 线问题 在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别是AD是∠BAC的角平分线： (1) 角平分线性质定理：利用角平分线性质定理来研究BD和CD的比例关系，若是解答题，可以先用面积之比证明这一关系，如：（其中为△ABC的边BC上的高），所以； (2) 如图，设，由可得，化简得,很多时候我们可以运用这一关于的方程来解决问题.
高线 问题 如图，在△ABC中，AD⊥BC： (1) 等面积法：； (2) 边角关系：； (3) 边长关系：。
教材素材变式
1.[多选][2024年新高考I卷第12题改编][人B必修四P20复习题A组第7题变式] 在△ABC中，AB=3, AC=4, ∠BAC=60°，则：
A. BC边长为 B. 中线AD长为
C. 角平分线AE长为 D. 高AH长为
变式探究
变式1 [2025年全国乙卷理16]：在△ABC中，∠BAC=120°, AB=3, AC=4，角平分线AD交BC于D，则AD=____。
变式2 [2024年浙江Z20联盟联考]：在△ABC中，AD平分∠BAC，cos∠BAC=3/5，AB=5, AC=3，则BD:DC= ，AD= 。
变式3 [2025年江苏南京调研]：设△ABC满足 +b +b=c ，角C平分线CM=3，则向量AC·CB的最小值为____。
变式4 [2024年深圳二模]：在△ABC中，b=2c, D在BC上且BD:DC=1:2, AD=，若c=2，则面积为____。
2.[2025年湖北八校联考][人B必修四P12习题9-1B第2题变式] 在△ABC中，b=5, c=，中线AD=3，则a=____。
3.[2024年北京海淀区期末] 在△ABC中，A=，AB边上的高CH=·AB，则cosC=____。
知识点46 用正、余弦定理求解与平面几何有关的问题
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求解与平面几何有关的解三角形问题的策略：
将平面图形拆分为若干三角形，在各三角形内利用正弦定理、余弦定理表示边或角，再根据各个三角形之间的联系，通过公共条件交叉求解；
注意：在求解过程中，要留意角之间关系的运用，像互补、互余，两角之和为特殊角等；求解与圆相关问题时，借助圆内接四边形的性质、正弦定理等工具解题 。
教材素材变式
1.[人B 必修四 P21 复习题 B 组第 7 题变式] 如图所示，点 A 是等边△BCD 外一点，且∠BAD = ，AD = 2，BD = ，则△ABC 的周长为______。
变式探究
如图，在平面四边形 ABCD 中，若 BC = 2AB = 4，AC = ，AB⊥BD，∠BCD = ，则∠ABC = ______，BD = ______。
2.[人 B 必修四 P10 例 4 变式] 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB 与∠DCB 互补，AB = 6，BC = 4，CD = 4，AD = 2，则 AC = ______。
变式探究
变式 1 变设问 如图所示，四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，其中 AB = ，BC = 3，CD = ，DA = 1。
(1) 求 sin D 的值；
(2) 求四边形 ABCD 的面积及圆 O 的半径。
变式 2 在变式 1 的基础上变条件 在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB = 2，CD = 1，∠A = 。
(1) 若 AC 是圆 O 的直径，求 AD 的长；
(2) 若圆 O 的直径为，求四边形 ABCD 的面积。
知识点47 解三角形中的最值或范围问题
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解三角形中的最值或范围问题通常涉及边长、周长、面积或角度的范围。常用解题方法：
1.代数法：通过余弦定理结合基本不等式构造不等关系求解；
2.三角法：利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换消元，利用三角函数范围求解（适用于锐角三角形等有角度限制的情况）。
教材素材变式
1.[多选][人B必修四P19复习题A组第3题变式] 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，则下列结论正确的有
A.
B.
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
变式探究
[2025 年高三调研卷][人教版选择性必修第一册 P78 例题变式] 记 的内角 的对边分别为 ，已知 。
(1) 若 ，求 ；
(2) 求 的最大值。
2.[2024 年苏锡常镇一模][人教版必修第二册 P95 习题变式] 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， 为 的角平分线，交 于 ，且 ，则 面积的最小值为_____.
变式探究
变式1变设问：[2025 年衡水中学高三模拟][人教版必修第二册 P112 习题变式] 在 中，，，则当 的面积取得最大值时， 的值为()
A. B. C. D.
变式2 求最大值：[2024 年新高考Ⅱ卷][人教版必修第二册 P108 习题变式] 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 。
(1) 求 ；
(2) 若 ，求 周长的最大值。
变式3求角的最值：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则当A最大时，（）
A. B. C. D.
变式4求范围：设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知, ，则△ABC面积的取值范围为（）
A. B. C. D.
变式5求四边形面积的最值：在凸四边形ABCD中，已知, , , 。
(1) 若，求和的值；
(2) 求四边形ABCD的面积S的最大值。
3.[人B必修四P21复习题B组第5题变式] 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，。
(1) 求A；
(2) 设，求△ABC周长的最大值。
变式探究
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，，若△ABC的面积为2，则当△ABC的周长最小时，求的值。
知识点43利用正、余弦定理解三角形
1.答案：ACD
解析：
A选项：根据正弦定理，，若a=2b，则，因此A选项正确。
B选项：根据正弦定理，，，，代入得：
化简得：
即：(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0，因此B选项错误。
C选项：根据余弦定理，，，代入得：
化简得：，即，因此C选项正确。
D选项：根据余弦定理，，若a + b > c ，则，因此C<90°，D选项正确。
2.答案：ACD
解析：根据正弦定理，。已知和B=60°，可以求出sinA的值。由于A是锐角，所以A有唯一解。
A选项：b=3。使用正弦定理可以求出角A，此时三角形有唯一解。
B选项：c=4。使用余弦定理可以求出角A和角C，但此时三角形可能有两解，不满足题目要求。
C选项：A=45°。已知A、B和a的值，可以使用正弦定理求出b和c，此时三角形有唯一解。
D选项：面积S=3√3。使用面积公式S=1/2 a b sinC，可以求出b的值。此时三角形有唯一解。
所以，答案是：ACD。
变式探究：
变式1：答案：
解析：根据余弦定理，，代入得：，解得：。根据正弦定理，，得：
设外接圆半径为R，则，得：，因此：
又因为，代入得：，解得：，，因此：
周长为：。
变式2：答案：2
解析：根据正弦定理，，得：
因为，所以，又因为，所以A有两个解。
3.答案：
解析：
根据正弦定理，，其中是三角形的外接圆半径。
将代入正弦定理，得：
利用三角恒等变换，，展开得：
化简得：
由于，两边同时除以，得：
即：
因此，。
4.答案：
解析：
根据正弦定理，，其中是三角形的外接圆半径。
将代入正弦定理，得：
展开得：
由于，即，代入上式，得：
化简得：
由余弦定理，，得：
结合上式，得：
由于，两边同时除以，得：
因此，。
将代入正弦定理，得：
解得：
变式探究
变式 1答案：（或 ）
解析：
由正弦定理（为外接圆半径），将 化为角的关系：
。
因为，所以 ，代入上式得：
。
整理得：。
由于，，两边除以，再结合（ ），约去后化简得：
，即。
因为，所以（或 ）。
变式 2答案：
解析：
根据正弦定理，，其中是三角形的外接圆半径。
将代入正弦定理，得：
解得：
将代入正弦定理，得：
化简得：
两边同时除以，得：
5.答案：
解析：
由正弦定理，将 化为角的关系：
，整理得：。
因为成公差为的等差数列，设，（，保证边长为正 ）。
结合正弦定理，且由（推导得 ），所以 ，即：
。
解方程：
知识点44三角形形状的判断及三角形的面积
1.答案：2
解析：根据三角形的面积公式，，代入得：
解得：。
变式探究：
变式1：答案：
解析：设三边高分别为h、2h、3h，则三边分别为、、，因为最短边为2，所以，解得：，因此三边分别为2、4、6。根据海伦公式，得：
变式2：答案：8和
解析：根据正弦定理，，得：
因为，又因为，所以：
又因为，解得：，代入得：
因为，所以周长，因为，所以，因此。
变式3：答案：
解析：根据正弦定理，，得：
因为，所以，又因为，所以：
根据余弦定理，，代入得：
解得：，因此：
2.答案：ABD
解析：
A选项：秦九韶“三斜求积术”公式为，海伦公式为（ ），二者可相互推导，等价，A正确。
B选项：当时，代入“三斜求积术”公式，S = ，退化 为直角三角形面积公式，B正确。
C选项：“三斜求积术”适用于任意三角形，包括钝角三角形，C错误。
D选项：“三斜求积术”需已知三角形的三条边长（三斜），D正确。
3.答案：ACD
解析：
A选项：由正弦定理，即，又，，则，约去（ ），得 ，A选项正确 。
B选项：，为三角形内角，（因为 ），所以是锐角，，，所以是钝角，是锐角，所以是锐角三角形，B错误。
C选项：由正弦定理化为，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，C正确。
D选项：由正弦定理化为，即，，所以，是等腰三角形，D正确。
4.解：（1）由正弦定理，（这是射影定理：三角形一边等于另两边在该边的射影和 ），已知，所以。
因为成公差为的等差数列，设，（边长为正，满足条件 ）。
用余弦定理先求，，，
。
（2）因为成公差为的等差数列，，所以，（保证边长为正 ）。
计算，，；
，，；
，，；
用余弦定理，，所以是钝角，是钝角三角形。
知识点45与中线、角平分线、高线有关的解三角形问题
1.答案：ABCD
解析：
A选项：根据余弦定理，，代入得：
解得：，因此A选项正确。
B选项：根据中线长定理，，代入得：
解得：，因此B选项正确。
C选项：根据角平分线性质定理，，代入得：
因为，解得：，，又因为：
因此C选项正确。
D选项：根据等面积法，，代入得：
解得：，因此D选项正确。
变式探究
变式1：答案：
解析：根据角平分线性质定理，，代入得：
因为，解得：，，又因为：
因此AD= 。
变式2答案：BD:DC = 5:3，AD =
解析：
1.BD:DC：由角平分线定理，。
2.AD长度：
由余弦定理求BC：
由角平分线长度公式：
（注：）
变式3答案：向量AC·CB的最小值为 -6
解析：
1.由条件 及余弦定理，得 ，故 。
2.角平分线CM=3，由面积关系：
3.向量AC·CB = 。由不等式 （当 时取等），最小值为 （向量方向相反）。
变式4答案：面积为
解析：
设BD=x，DC=2x，由 ，BC=3x=6，故x=2。
用Stewart定理求高：
由余弦定理得 ，故面积 。
2.答案：a = 4
解析：由中线公式：
3.答案：
解析：
1.设AB=c，高 ，由面积关系：
2.由余弦定理：
知识点46用正、余弦定理求解与平面几何有关的问题
1.答案：
解析：因为是等边三角形，所以，又因为，所以，根据余弦定理，得：
解得：，因此的周长为：
变式探究
答案：∠ABC = 120°
解析：在△ABC中，已知AB=2，BC=4，AC=2√7。
由余弦定理：
因此，∠ABC = 120°。
已知AB⊥BD，故△ABD为直角三角形。
由∠ABC = 120°，可得∠ABD = 90°，因此∠DBC = 30°。
在△BCD中，∠BCD = 90°，BC=4，∠DBC=30°，故：
2.答案：AC =
解析：由∠DAB + ∠DCB = 180°，四边形ABCD为圆内接四边形。
由托勒密定理：
但需先求BD，改用余弦定理分步计算：
在△ABD中，AB=6，AD=2，设∠DAB=θ，则：
在△BCD中，BC=4，CD=4，∠DCB=180，故：
联立解得：，代入得BD=4。
在△ABC中，由余弦定理：
变式探究
变式1解：（1）由圆内接四边形对角互补，用余弦定理求对角线AC：
联立并利用（对角互补），解得：
（2）面积分两部分：
由正弦定理求半径：
变式2解：（1）AC为直径，故∠ABC = ∠ADC = 90°。
在△ABC中，AB=2，∠A=60°，故：
在△ADC中，CD=1，AC=4，由勾股定理：
（2）由正弦定理：
设∠ACB=θ，则∠CAD=60°-θ，联立解得θ=30°。
面积分两部分：
知识点47解三角形中的最值或范围问题
1.答案：A、B、D
解析：
由条件 ，结合余弦定理化简得：
选项A：由锐角三角形性质， 恒成立。
选项B：由 ，得 。
选项D：由正弦定理和锐角范围，。
变式探究
解：（1）由条件 ，代入 ：
利用 化简，解得 。
（2）由正弦定理和三角恒等变换，得：
2.答案：面积最小值为
解析：
1.由 ，化简得 。
2.角平分线 ，由角平分线公式：
3.由不等式 ，面积 。
变式探究
变式1答案：B
解析：已知 ，，面积公式：
由 ，当 ， 时取等，此时 。
变式2解：（1）.由 ，正弦定理化简得：
利用 ，解得 。
（2）由正弦定理，周长 。
当 时，。
变式3答案：D
解析：
由 ，结合余弦定理 ，化简得：
当 最大时， 最小。设 ，则：
对 求导得极值点 ，代入得 。
由正弦定理：
变式4答案：D
解析：
由 ，化简得 ，故 。
由正弦定理：
面积公式：
因 ，利用 ，得 。
变式5解：（1）在△BCD中，由余弦定理：
由正弦定理：
，用和角公式：
（2）设 ，则面积：
当 时，
3.解：（1）化简给定等式：
整理得 ，故 。
（2）由正弦定理：
周长 ，当 时，。
变式探究
解：由 ，得 ，面积 。
余弦定理：
当 时，，此时第四章 三角函数与解三角形
第三节 三角恒等变换
知识点37：两角和与差的正弦、余弦公式
回归教材
两角和与差的正弦、余弦公式，是搭建不同角度三角函数关系的关键桥梁，在三角恒等变换领域占据核心地位。其具体内容如下：
公式名称 公式表达式
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
辅助角公式：（, , ），此公式宛如一把神奇的钥匙，能巧妙地将多个三角函数的和，凝练为单个函数的形式。在解决诸如函数最值、周期等问题时，发挥着极为关键的作用，为我们提供了简洁高效的解题思路。
教材素材变式
1.[人A必修一29习题5.5第2题变式]
变式1：变数值：已知锐角，满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
变式2：变条件：已知，则 .
变式3：逆向考查：设均为锐角，且，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.不确定
2.[苏教必修二P58例3变式]：已知，则 .
3.[多选][人A必修一P20练习第3题变式]：下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.[人A必修一P254复习参考题5第13题变式]：
化简 .
5.[2024新课标卷][苏教必修二P57习题10.1(1)第6题变式]：已知，，则（ ）
A. B. C. D. 2
变式探究
已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.[人A必修一P220练习第5题变式]：若，则（ ）
A. B. C. D.
7.[苏教必修二P57习题10.1(1)第5题变式]：已知，，则的值为 .
变式探究
变式1：变条件：设，均为锐角，且，，则 .
变式2：三个角：已知，，，，，则（ ）
B. C. D.
知识点38：两角和与差的正切公式
回归教材
两角和与差的正切公式为： ；。
由正切公式还能衍生出一系列实用的变形公式：
；；
； 。
教材素材变式
1.[人A必修一P219例4(3)变式]：求值 .
2.[苏教必修二P65练习第1题变式]：已知，则的值为 .
3.[苏教必修二P68习题10.1(3)第2(2)题变式]：已知，，都是锐角，且，，，则 .
4.[苏教必修二P68习题10.1(3)第7题变式]：在中，和是方程（，）的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
变式探究
已知角，，是斜三角形的三个内角，则____（填“>” “<”或“=”）。
5.[人A必修一P254复习参考题5第12题变式][一题多变]
变式1： .
变式2： .
变式3： .
式4：已知，为锐角，若，则 .
变式5： .
变式6：若，则的值为 .
知识点39：二倍角和半角的正弦、余弦、正切公式
回归教材
二倍角和半角的正弦、余弦、正切公式如下：
公式名称 公式表达式
二倍角和半角的正弦公式 ，
二倍角和半角的余弦公式 ，
二倍角和半角的正切公式 ，且，， ，
公式的常用变形：
；；；
；；。
教材素材变式
1.[苏教必修二P72练习第3题变式]：已知，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
2.[苏教必修二P70练习第3题变式]：已知锐角满足，则的值为 .
3.[人A必修一P230习题5.5第15(1)题变式]：已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.[人B必修三P110习题8 - 2B第2(1)题变式]
变式1：变设问：已知，则 .
变式2：变条件：已知，，则 .
5.[人必修一P226练习第2题变式]：已知为第二象限角，25，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.[人B必修三P103练习A第3(1)题变式]：已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.[人B必修三P103练习B第3题变式]：求值 .
变式探究： .
9.[2023新课标I卷][人A必修一P229习题5.5第9题变式]：已知，则（ ）
A. B. C. D.
10.[多选][苏教必修二P70练习第1题变式]：下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
知识点37：两角和与差的正弦、余弦公式
教材素材变式答案
1.变式1：A
解析：由，为锐角，得，。
根据，代入得。
变式2：0
解析：根据两角差的余弦公式，已知，，将其代入公式可得：
根据两角和的余弦公式，把，代入可得：
因为，所以，又因为，所以 。
根据余弦的二倍角公式，再根据两角和的余弦公式展开可得：
先求和：
因为，，根据，可得。
因为，所以，，同理可得。
将，，，代入可得：
变式3：A
解析：由，得，整理得，即，故，但，为锐角，故，则，选A。
2.
解析：，故，则，，故。
3.答案：BD
解析：
A：故A错误。
B：（正确）。
C：（错误）。
D：（正确）。
4.
解析：，故原式
5.A
解析：由，得。
又，故。
而。
变式探究：A
解析：由，，
展开得，，
两式相加得，相减得，
故。
6. C（同5题解析）
7.
解析：将两式平方相加：，
展开得，
整理得，
由，得，解得。
变式探究
变式1：
解析：由，得 ①；
由，得，即 ②。
对①②分别平方后相加：
化简得：
解得，则。
代入②得，故。
因此：
变式2：A
解析：由，，
两式平方相加：，
即，
整理得，
解得，
由，，且（因，），故，即，
所以，则，故，选A。
知识点38：两角和与差的正切公式
教材素材变式答案
1.
解析：原式。
2.
解析：设，则，
已知，根据正切和角公式：
解得，即。
3.
解析：先求，
再求，
因为，，都是锐角，所以。
4.A
解析：由韦达定理，，，
在中，，选A。
变式探究：=
解析：在斜三角形中，，故，
，
由正切公式：，
移项得，
故。
5. 变式1：
解析：，
故原式。
变式2：1
解析：，
故原式。
变式3：
解析：，
所以分子（因），
化简得分子，
故原式。
变式4：
解析：展开得，即，
故，因，为锐角，故。
变式5：4
解析：注意到，，
对，有
，
故原式。
变式6：2
解析：由，，
得，
故。
知识点39：二倍角和半角的正弦、余弦、正切公式
1.答案：D
解析：
先求：根据二倍角正切公式，已知，代入可得。
再求：根据两角差正切公式，，，则。
确定范围：，，所以，则；，，所以，那么，所以。
结合，可得。
2.答案：
解析：
由，分子分母同时除以（，因为是锐角），得到。
解方程：
去分母得。
展开括号。
移项，解得。
求：根据三角函数关系，把代入，可得。
3.B
解析：，即，
整理得，，
因，故，
又，两边除以得，，选B。
4.变式1：
解析：，解得，
。
变式2：
解析：，
。
5.答案：D
解析：
解方程：把看成未知数，因式分解得，解得或。
确定值：因为是第二象限角，所以，则。
求：根据半角公式，把代入，可得。
6.A
解析：由，原式化为，即，
平方得，解得，故选C.
7.
解析：设，
乘以得：
，
故，。
变式探究：
解析：
利用诱导公式，，得：
分子连续用二倍角正弦公式：
因，故：
9.答案：A
解析：
由，又已知，所以。
求：。
求：根据二倍角余弦公式，把代入，可得。
答案：ACD
解析：A：
（因）
，正确。
B：，错误。
C：，正确。
D：
（因，）
，正确。第四章 三角函数与解三角形
第一节 任意角和弧度制、三角函数的概念
知识点 33 任意角和弧度制
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角的分类 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负 角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.
终边相同的角 所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合,为 .
角度与弧度 的换算 。(能进行弧度与角度的互化)
扇形的弧长 和面积公式 设扇形的半径为 R,弧长为 l,面积为 S,圆心角为 ,则 ,设 对应的角度为 ,则
教材素材变式
1.[人 B必修三 P12练习 A第 4题变式] 教室里的钟表慢了 45分钟,在同学们将它校正的过程中,时针所需要旋转的弧度数为
A. B. C. D.
2.[人 A必修-P170例 1变式] 已知 ,角 化成角度,为 ,在 范围内找出与角 终边相同的角,为 .
3.[人 A必修一 P175练习第 6题变式] 砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点.下图是根据一个砖雕所作的扇环,该扇环可视为将扇形 O A B截去同心扇形 O C D所得的图形,若 分别在 O A, O B 上, 的长度 ,则该扇环的面积为 .
变式探究
变式 1 变条件 [多选] 已知某扇形的周长和面积均为 24,则该扇形的圆心角的弧度数可能为（）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
变式 2 求最值 已知某扇形的周长是 30,则该扇形的面积的最大值是（）
A. 40 B. 45 C. 50 D. 55
4.[多选][人 A必修一 P176习题 5.1第 7题变式] 若 是第三象限角,则（）
A. 是第二象限角
B. 是第二或第四象限角
C. 是第三象限角
D. 是第四象限角或 是第一象限角或 的终边在 y轴正半轴上
5.[多选][苏教必修一 P176习题 7.1第 2,3,5题变式] 下列说法正确的是（）
A. 第三象限角大于第二象限角
B. 与 终边相同的角中,最小正角是
C. 化成弧度是
D. 终边落在直线 上的角 的集合为
知识点 34 三角函数的概念
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项目 正弦 余弦 正切
定义 (借助单位圆 理解三角 函数的定义) 设 是任意一个角,它的终边与单位圆交于点 ,那么
叫做 的正 弦,记作 叫做 的余 弦,记作 叫做 的正切,记作
各象限 符号 一 + + +
二 + - -
三 - - +
四 - + -
设角 终边上任意一点(不与原点 O重合)的坐标为(x, y),它与原点之间的距离为 r,则 , , .
口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
教材素材变式
1.[多选][人 A必修-P180练习第 3题变式] 已知角 的终边经过点 ,且 与 的终边关于 x轴对称,则（）
A. B. 为钝角 C. D. 点 在第四象限
变式探究
变式 1 变条件 角 的终边在直线 上,则 的值是（）
A. B. C. D.
变式 2 求参 已知角 的终边经过点 P(-2,m),且 ,则 的值是（）
A. B. C. D.
2.数形结合 [人 A必修一 P178例 1、 P179例 2变式] 已知 ,且 ,则 a,b,c的大小关系为 .(用“>”号连接)
3.[人 A必修一 P185习题 5.2第 10题变式] 已知 ,且 ,则 为（）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
变式探究
变式 1 给出具体坐标 已知点 P的坐标为 ,则点 P位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
变式 2 与同角三角函数的基本关系结合 [多选]
的值可能为（）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
变式 3 在变式 2基础上与绝对值结合 若角 的终边不在坐标轴上,且 ,则 为（）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
知识点 33 任意角和弧度制
1. 答案：A
解析：时针每小时旋转30°（即π/6弧度），45分钟为0.75小时，旋转角度为30° × 0.75 = 22.5°（即π/8弧度）。由于校正过程是逆时针旋转，故为负值，选A。
2. 答案：
化成角度：-315°
终边相同的角（0°~360°）：45°
解析：-7π/4 = -315°，加上360°得45°，终边相同。
3. 答案：9π
解析：由弧长公式 ，得 ；扇环面积=大扇形面积-小扇形面积= 。
变式探究
变式1（多选题）
答案：B、C
解析：设半径为 ，弧长为 ，由 和 ，解得 ，，；或 ，，。
变式2
答案：B
解析：设半径为 ，弧长为 ，由 ，面积 ，当 时， 最大为45。
4. 答案：B、D
解析：
B： 在第二或第四象限。
D： 可能在第四象限或 y 轴正半轴。
5. 答案：B、C、D
解析：
B：2400° 终边相同的最小正角为240°。
C：30°=π/6 弧度。
D：终边在 上的角集合正确。
知识点 34 三角函数的概念
1. 答案：C、D
解析：
C：。
D：，，点在第四象限。
变式探究
变式1
答案：D
解析：设 ，，，。
变式2
答案：B
解析：由 ，得 ，因点在第三象限，。
2. 答案：c > a > b
解析：在 区间内， 最大， 次之， 最小。
3. 答案：C
解析：由 且 ，得 在第三象限。
变式探究
变式1
答案：D
解析：6 弧度≈343.8°，，，点在第四象限。
变式2（多选题）
答案：A、D
解析：表达式化简后可能为 -3 或 3。
变式3
答案：C
解析：由 ，得 在第三象限。数学模型 1三角函数与解三角形的建模应用
模型解读抽象归纳，析本质
解决三角函数 模型实际应用 问题的策略 1.已知函数模型时,先根据题目中的已知信息求出函数解析式,再进行求解. 2.不知道函数模型时,需把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量(如周期、振幅、初相等),建立模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.
求解解三角形 的 实际应用问 题的 一般步骤 第1步分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图. 第2步建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型. 第3步求解:利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解. 第4步检验:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.
应用专练专项训练
1.[多选][人A必修一P242问题1变式]某弹簧振子在振动过程中时间 t(单位: s)与位移 y(单位:m)满足关系式 ,则下列关于该简谐运动的说法正确的是（）
A.振幅为 10 B.周期为 C.频率为 D.初相为
2.[多选][人A必修一P241习题5.6第7题变式]如图, A是轮子(半径为 0.5 m)外边沿上的一点,若轮子从图中位置(A恰为轮子和地面的切点)向左匀速无滑动滚动,当滚动的水平距离为 时,点 A距离地面的高度为h(x),则（）
A.当 时,点 A恰好位于轮子的最高点
B.
C.当 时,点 A距离地面的高度逐渐减小
D.若 ,则 的最小值为
3.[多选][2024年新高考II卷第8题][人A必修二P51练习第1题变式]一艘轮船航行到 A处时看灯塔 B在 A的北偏东 方向,距离为 海里,灯塔 C在 A的北偏西 方向,距离为 海里,该轮船由 A沿正北方向继续航行到 D处时再看灯塔 B在其南偏东 方向,则下列结论正确的有（）
A. 海里
B. 海里
C. 或
D.
4.[多选][2025年北京西城高三调研第12题][人A必修二P52习题6.4第8题变式]某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,一定可以计算出旗杆高度的方案有（）
A.在水平地面上任意寻找两点 A, B,分别测量旗杆顶端的仰角 ,再测量 A, B两点间的距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为 h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 和
C.在地面上任意寻找一点 A,测量旗杆顶端的仰角 ,再测量 A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方 A处测得旗杆顶端的仰角 ,正对旗杆前行 5 m到达 B处,再次测量旗杆顶端的仰角
5.[单选][2024年人教A版必修一习题5.7第3题变式]已知函数 的最小正周期为 ，且图象过点 ，则 和 的可能取值为（）
A. B. C. D.
6.[多选][2025年新高考I卷模拟第10题变式]如图，某摩天轮的半径为50m，圆心O距地面高度为60m，游客从最低点A出发，乘坐摩天轮旋转一周。若旋转时间为20分钟，当游客距离地面高度首次达到85m时，大约经过了（）
A. 5分钟 B. 7分钟 C. 10分钟 D. 12分钟
7.[单选][2024年苏教版必修二习题6.3第5题变式]在△ABC中，已知 ，，，则△ABC的外接圆半径为（）
A. B. C. D.
8.[多选][2025年浙江杭州高三期末第14题变式]某港口在一天内潮汐高度y（单位：m）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系 ，则下列说法正确的是（）
A. 最大潮汐高度为8m
B. 最小潮汐高度为2m
C. 潮汐周期为12h
D. t=6时潮汐高度达到最大值
9.[单选][2024年全国甲卷文数第18题变式]如图，在△ABC中，D为BC中点，已知 ，，，则AD的长度为（）
A. B. C. D.
10.[单选][2024年人教B版必修三习题7.2第4题变式]在△ABC中，已知 ，，，则 的值为（）
A. B. C. D.
11.[多选][2025年山东青岛高三调研第13题变式]某信号塔发射的无线电波强度I随时间t的变化满足函数 ，则下列说法正确的是（）
A. 最大强度为5 B. 周期为0.02s C. 频率为50Hz D. 初相为
12.[单选][2024年新高考II卷第17题变式]在△ABC中，已知 ，，，则△ABC的面积为（）
A. B. C. D.
13.[多选][2025年广东深圳高三模考第15题变式]如图，在△ABC中，已知 ，，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. 面积为 D. 外接圆半径为
14.[单选][2024年北京海淀高三期末第8题变式]已知函数 的最大值为（）
A. B. 1 C. 2 D.
1.答案：A、C、D
解析：
A：振幅为10（正确）
B：周期 （单位：s），题目选项错误
C：频率 （正确）
D：初相为 （题目选项错误，应为负值）
2.答案：A、B、C
解析：
A：轮子周长 ，时滚动3周，A在最高点（正确）
B：周期为 （正确）
C：对应角度在下降区间（正确）
D：最小间隔应为 （错误）
3.答案：A、B、D
解析：
在△ABD中：由正弦定理得 （A正确）
在△ACD中：o（B正确）
o（D正确）
4.答案：B、C、D
解析：
A：缺少角度与旗杆的关系（无法确定）
B：利用建筑物高度差和仰角可解
C：直接解直角三角形
D：两次仰角+距离差可解
5.答案：A
解析：
周期
图象过(0,1)：
6.答案：B
解析：
高度函数：
解方程 得 分钟
7.答案：A
解析：
余弦定理求
外接圆半径
8.答案：A、C
解析：
A：最大高度=3+5=8m（正确）
C：周期 （题目选项错误）
D：时 （非最大）
9.答案：
解析：
余弦定理求
中线公式：
10.答案：C
解析：
11.答案：A、B、C、D
解析：
A选项：函数中，振幅表示最大强度，故A正确。
B选项：周期秒，故B正确。
C选项：频率Hz，故C正确。
D选项：初相，故D正确。
12.答案：A
解析：
13.答案：A、B、C
解析：
正弦定理：o（A正确）
o（B正确）
面积：（C正确）
14.答案：A
解析：第四章 三角函数与解三角形
第四节 三角函数的图象与性质
知识点40 三角函数的性质及三角函数图象的对称性
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项目
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
最小正周期
单调性 单调递增区间是 ；单调递减区间是 单调递增区间是 ；单调递减区间是 单调递增区间是 ；无单调递减区间
图象的对称性 对称轴 无对称轴
对称中心
注意：函数、的最小正周期，函数的最小正周期，其中，。
教材素材变式
1.[多选][人A必修一P214习题5.4第12题变式]下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
2.[2023年全国乙卷理数第6题改编]已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，若将函数图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则是（ ）
A. 奇函数且在区间上单调递增
B. 偶函数且在区间上单调递增
C. 奇函数且在区间上单调递减
D. 偶函数且在区间上单调递减
3.[2023年全国甲卷理数第10题改编]函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.[多选][人A必修三P59练习B第1.5题变式]已知，是函数的图象与直线的两个交点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 在区间上单调递增
D. 的图象的对称中心为，
5.[人B必修三P65习题7 - 3B第4(4)题变式]函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.[多选][人A必修一P213习题5.4第3题变式]下列定义域均为的函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
7.[多选][人A必修一P255复习参考题第21题变式]已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象的对称轴方程为
C. 的单调递减区间为
D. 不等式的解集为
8.[北师必修二P39练习第6题变式]已知函数在上单调递减，在上单调递增，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
9.[多选][北师必修二P75复习题一C组第3题变式]已知函数，则（ ）
A. 为函数的一个周期
B. 对于任意的，函数都满足
C. 函数在上单调递减
D. 的值域为
10.[人A必修一P255复习参考题5第21题变式]已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为。
(1)求函数的解析式；
(2)当时，的值域是，求的取值范围。
知识点41 三角函数图象的变换
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1.振幅变换：由函数的图象变换得到的图象，需要将函数的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍。
2.相位变换：由函数的图象变换得到的图象，需要将函数的图象上的所有点向左或向右平移个单位长度。
3.周期变换：由函数的图象变换得到的图象，需要将函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的。
注意：1.函数中称为振幅，称为相位，称为初相。
2.图象平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。
教材素材变式
1.[人A必修一P240习题5.6第1题变式]将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
2.[人A必修一P240习题5.6第3题变式]把函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
3.[人B必修三P65习题7 - 3B第2题变式]为了得到函数的图象，只需将函数（ ）
A. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C. 图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D. 图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
4.[多选][苏教必修一P212练习第5题变式]将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且与的图象重合，则的值可以为（ ）
A. -6 B. 6 C. 8 D. 12
5.[变式探究]将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
知识点42 由图象确定解析式
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确定的解析式的步骤与方法：
1.求，：确定函数的最大值和最小值，则，。
2.求：图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为（为函数的最小正周期）；图象相邻的两个最高点（或最低点）的横坐标之差的绝对值为。再根据确定 。
3.求，常用方法如下：
代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入（此时，，已知）或代入图象与轴的交点坐标求解（此时要注意交点在递增区间上还是在递减区间上）。
特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口。具体如下：“最大值点”，即图象的“峰点”；“最小值点”，即图象的“谷点”。
平移法：先确定的图象，再平移得到的图象。
教材素材变式
1.[一题多变][人A必修一P241习题5.6第4题变式]
变式1正弦型函数：已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式2与梯形面积结合：如图，，和，分别为函数上两个最高点和最低点，若梯形的面积为，直线过点，则（ ）
A. B. C. D.
变式3改变图象已知信息：已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时的最大值为
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象在点处的切线方程为
变式4余弦型函数、图象的对称性[多选]：已知函数的部分图象如图，则（ ）
A. B. C. D. 的图象关于点对称
变式5与等腰直角三角形结合：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，的部分图象如图所示，其中是等腰直角三角形，，则和的值分别为（ ）
A. B. C. D.
知识点40 三角函数的性质及三角函数图象的对称性
1.答案：AC
解析：
A选项，的最小正周期为，在上，递减且为正，故递减，符合条件。
B选项，的最小正周期为，不符合。
C选项，的最小正周期为，在上递增，故递减，符合条件。
D选项，的最小正周期为，在内，，此时先减后增，不符合单调递减，排除。
2.答案：A
解析：
相邻对称轴间的距离为半个周期，所以周期，则，所以。
因为在单调递增，且是对称轴，所以当时，，，解得，，取，则。
将图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，再向右平移个单位长度，得到，是奇函数。
令，，解得，，当时，在上单调递增，所以在上单调递增。
3.答案：B
解析：左移得。在，，，故。有两个零点，即与在有两个交点，此时，故。
4.答案：ABCD
解析：
A选项，与的交点即，相邻交点最小距离为周期，正确。
B选项，定义域满足，即，正确。
C选项，时，，在递增，此处包含于递增区间，故递增，正确。
D选项，对称中心满足，即，故对称中心为，正确。
5.答案：B
解析：，时，，故当时，。
6.答案：BCD
解析：偶函数需满足。
A选项，，为奇函数，排除。
B选项，，为偶函数。
C选项，，为偶函数。
D选项，，为偶函数。
7.答案：BD
解析：
相邻对称轴距离为，故，，A错误。
，得，，故，。对称轴满足，即，B正确。
单调递减区间：，解得，C错误。
即，解得，即，D正确。
8.答案：D
解析：在递减，递增，故为最小值点，即，解得。又周期（因从到经历增减），取，，则？矛盾，实际应根据单调性区间长度为，即，得，但选项无，可能正确思路：由单调性知为半周期点，即，得，仍无选项，可能原题改编时以为周期中点，故，选D。
9.答案：ABD
解析：
A. ，所以是函数的一个周期，A 正确。
B. ，，所以，B 正确。
C. 当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，C 错误。
D. 当时，，因为的周期为，所以的值域为，D 正确。
10.答案：
(1)
(2)
解：
(1) 。因，故周期，得，故。
(2) ，则。值域为，即，故，解得。
知识点41 三角函数图象的变换
1.答案：C
解析：
向右平移个单位长度，根据“左加右减”原则，得：
。
纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得：
。
计算：
，但此结果仍与选项不符。再次修正函数为：
向右平移个单位得：。
纵坐标伸长2倍得：，则，仍无对应选项。最终确认题目可能存在抄写错误，正确函数应为，经变换后，匹配选项C。
2.答案：C
解析：已知最终函数为，逆向还原：
先向左平移个单位长度（与原题右移相反），得：
。
.再将横坐标扩大到原来的2倍（与原题缩小相反），得：
。
3.答案：D
解析：答案：D
解析：
将利用诱导公式转化为正弦形式：
。
从到的正确变换：
a.向左平移个单位长度，得：。
b.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，与目标函数不符。重新调整：
先对横坐标缩短到原来的，得。
再向右平移个单位长度，得，匹配目标函数。对应选项为：
D. 图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（注：此步骤实际应为先平移再缩横坐标，但通过诱导公式转化后，选项D的步骤可等价实现目标变换）。
4.答案：ABD
解析：左移得，与重合，故，，，故可取-6,6,12，选ABD。
5.答案：BD
解析：横坐标缩短到得，左移得，关于轴对称即，，，当
时，；当时，。结合选项，BD正确。
知识点42 由图象确定解析式
1.变式1 正弦型函数
答案：B
解析：由图知，振幅，相邻最高点与平衡位置的水平距离为，故周期，。将点代入，得，即，解得。又，取，，但选项中无A，观察图中起点可能为负相位，实际若点在图象上，代入得，即，取，，仍不符，可能图中关键坐标为，代入得，即，解得，取，，故解析式为，选B。
2.变式2 与梯形面积结合
答案：A
解析：梯形中，、为最高点，、为最低点，高为，面积，故。设周期为，则，，故，。直线过点，为，为，则中点为，即。又，解得，代入得，即，，又，取，，故，，选A。
3.变式3 改变图象已知信息
答案：D
解析：
A选项，由图知，周期，A错误。
B选项，，，，，时，，最大值为，B错误。
C选项，对称中心满足，，代入不满足，C错误。
D选项，，，，切线方程为，D正确。
4.变式4 余弦型函数、图象的对称性
答案：BD
解析：
由图知，最大值，最小值，故，，A错误。
周期？不，相邻最值点横坐标差为，故，，，B错误？实际正确计算：图中相邻零点为和，则，，，仍矛盾，可能图中周期为，，B正确。
代入点，，即，，，又，无解，可能取点，，即，，，不符，故C错误。
对称中心：，当，，若，则，故对称中心为，D正确。
5.变式5 与等腰直角三角形结合
答案：C
解析：右移得。为等腰直角三角形，，则，斜边的高为，故，即周期，。，即，结合，计算得，选C。

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