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2024-2025学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中奇偶性与其它三个不同的是( )
A. B.
C. D.
5.从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式( )
A. B. C. D.
6.平面直角坐标系中以，，，四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则( )
A. B.
C. D. ，大小无法计算
7.已知在上恒成立，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，已知，，则下列选项中正确的是( )
A. ， B. 等差数列的公差
C. 使成立的最小为 D. 当时，取得最小值
10.已知正四面体棱长为，点，分别位于棱，上其中，，动点在平面内运动包含边界，运动过程中与平面所成角的正切值为，则下列选项正确的是( )
A.
B. 顶点在平面的投影为点，则直线与直线共面
C. 直线与所成角的正弦值为
D. 点的轨迹长度为
11.已知圆：和抛物线：的准线相切于点，点为圆与抛物线的一个交点，点，分别为圆与抛物线上的动点，则下列选项中正确的是( )
A.
B. 点到的准线的距离为
C. 直线与抛物线相交
D. 若点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.某生在一次考试中，共有道题供选择，已知该生会答其中道题，随机从中抽道题供该生回答，至少答对道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是______．
14.已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列中，，满足．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
年月日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦：战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练．
假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用表示甲获胜的次数，求的方差；
如果每局比赛甲获胜的概率为，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由．
18.本小题分
已知曲线到两个定点和的距离和为定值．
求的方程；
过点的直线斜率存在且不为与交于，两点，关于轴的对称点为已知．
证明：、、三点共线；
求的取值范围．
19.本小题分
已知，，是曲线上不同的三点若点，，的横坐标成等比数列，且曲线在点处的切线的斜率小于直线的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”已知．
讨论的极值点个数；
若是上的“等比左偏函数”，求实数的取值范围；
当时，数列满足，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：，满足，
即有，
，
则数列是首项和公比均为的等比数列；
，即有，
则
．
16.解：证明：连结，，
为矩形，，
又为的中点；，
又平面，平面，
平面，
分别以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图，可知，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，则，
令，，，，
设平面的一个法向量是，
由，
取，得，
，
二面角为锐角，
它的余弦值为．
17.设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则；
的所有可能取值为，，，，
，
，
所以期望为，
方差为；
采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率，
采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：，
令，
因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利．
18.因为，由椭圆定义可知，曲线为以和为两焦点的椭圆，
其中，，解得，，
故C的方程为；
依题意可设直线的方程为，联立，
消去得，设，，则
由韦达定理得，
则直线的方程为，
即，
其中，
则直线的方程为，
故直线过定点，即、、三点共线；
，，
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为．
19.由，，，
当时，，在上单调递减，的极值点个数为；
当时，令，可得，令可得，
故在上单调递增，上单调递减，
在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为，
综上，当时，的极值点个数为，当时，的极值点个数为；
设，，
是上的“等比左偏函数”，
，易知，不妨设，
，曲线在点处切线的斜率，
，
．
，，
令，则，所以，
，令，
则，
在上单调递增，，
结合式，得，即的取值范围为；
证明：当时，，，
令，则，
仅当时，，在上单调递增，
，，，
从而，，故．
由知，令，
则，
则，又因为，
所以，，
即从而，
，．
即，，
当时，
，
又当时，，
符合上式，．
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