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2024-2025学年福建省泉州市高一下学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则
A. B. C. D.
2.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有名和名学生，若从高中部抽取的学生人数为，则
A. B. C. D.
3.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则
A. B. C. D.
4.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，，则 D. 若与，所成的角相等，则
5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为
A. B. C. D.
6.已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，，，则该球的表面积为
A. B. C. D.
7.如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为，若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.在中，，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则
A. B.
C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，是方程的两根，则
D. 若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为
11.已知三棱柱的底面是边长为的正三角形，，，分别为，，的中点，若，，则
A.
B. 三棱柱的体积为
C. 与所成的角的余弦值为
D. 平面截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据：，，，，，，，，，，则这组数据的上四分位数第百分位数是__________．
13.已知，则__________．
14.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点，，为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形如图所示已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为 ，最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间；
当时，，求实数的取值范围．
16.本小题分
某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取件，并测量其质量指标值指标值越大，代表质量越高，测量结果统计如下：
质量指标值分组
频数
平均数
方差
乙工厂
求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表；
结合统计学知识为该企业推荐一家供货商．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，将沿翻折至如图，使得．
证明：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值；
若点在平面内，，当三棱锥的体积最大时，求的长．
18.本小题分
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的面积的取值范围；
如图，若为外一点，且，，，求．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转角后得到点，其中称该公式为点的坐标旋转变换公式．
已知点可由点绕原点逆时针旋转得到，求，的值；
若曲线：绕原点逆时针旋转得到曲线，求证：直线与有无数多个公共点；
曲线：上是否存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形？证明你的结论．
参考答案
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15.解：依题意得的最小正周期为，
由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间，；
由，得，
所以，
所以，
当时，由，且，
得，只需满足，
因为函数在区间上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为
16.解：因为，
所以，
所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为
，
方差为
，
乙工厂生产的产品质量指标平均数为，
方差为，
所以，，
以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，
但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定，故建议选择乙工厂生产的产品．
17.解：因为，，，
所以，所以，
又因为，，、平面，
所以平面
过点作于点，连结，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，
所以平面，
所以为斜线在平面上的射影，
为直线与平面所成的角，
在平形四边形中，，
因为，所以，所以，
在中，，，
由勾股定理可得，
根据等面积法可得，
在中，，
所以，
即直线与平面所成的角的正弦值为
由知平面，又因为，
所以，
因为，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值．
18.解：因为，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以
在中，由正弦定理得，
又，，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的面积的取值范围是
因为，，
所以，
因为，设，
则，，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，由余弦定理可得，
将式代入式得，
化简得，解得，
故．

19.解：依题意得，
即
解得，
任取曲线上点，
点绕原点逆时针旋转后得到点，则点在上，
依题意得
即
代入，整理得，
所以曲线的方程为，
联立，
整理得，
所以，，
即，，
所以直线与有无数多个公共点
曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形，
理由如下：
设曲线绕原点逆时针旋转角后得到，
上点绕原点逆时针旋转角后得到点，
则，
当，时，
由，整理得，
由，
整理得，
代入，
得
取可得曲线的方程为，
取与直线的两个交点，，
取与直线的两个交点，，
由，且可得四边形为等腰梯形，
所以曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形，
即曲线上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形．
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